Exercício 16. (D.K. ex. 14.23) Suponha que u in S^prime(R^n) e phi in S(R^n). Mostre que existem constantes C>0 e N in N0 tais que
|u(phi(x-a))| <= C(1+|a|)^N, forall a in R^n

Passo 1

O enunciado diz que u é uma distribuição temperada em R^n e phi é uma função de Schwartz. Queremos mostrar que a aplicação de u à tradução phi(cdot -a) cresce, no máximo, como uma potência de (1+|a|). Para isso, vamos usar a continuidade de u no espaço S(R^n) e as seminormas que definem a topologia de Schwartz.

Passo 2

Por definição de distribuição temperada, existem constantes C1>0 e um inteiro M>=0 tais que, para toda psiinS(R^n),
|u(psi)| <= C1 sum|alpha|<= M,;|beta|<= M supxinR^nl|x^beta,partial^alphapsi(x)r|
Aqui alpha,beta são multiíndices e
supxl|x^beta,partial^alphapsi(x)r|
é uma das seminormas de Schwartz.

Passo 3

Aplique essa estimativa a psi(x)=phi(x-a). Note que
partial^alphapsi(x) =partial^alphaphi(x-a), x^beta,partial^alphapsi(x) =(y+a)^beta,partial^alphaphi(y) (y=x-a)
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supxl|x^beta,partial^alphapsi(x)r| =supyinR^nl|(y+a)^beta,partial^alphaphi(y)r|

Passo 4

Usamos a desigualdade
|y+a|^|beta|<=(1+|y|)^|beta|(1+|a|)^|beta|. Como phi é de Schwartz, para cada alpha,beta existe uma constante Dalpha,beta tal que
supy(1+|y|)^|beta|l|partial^alphaphi(y)r| <= Dalpha,beta
Assim
supyl|(y+a)^beta,partial^alphaphi(y)r| <= Dalpha,beta,(1+|a|)^|beta|

Passo 5

Voltando à estimativa de u, obtemos
|u(phi(cdot -a))| <= C1 sum|alpha|,|beta|<= MDalpha,beta,(1+|a|)^|beta| ;<=; C,(1+|a|)^M,
onde C=C1sum Dalpha,beta e escolhemos N=M. Isso prova o resultado desejado.

Resposta

Foi mostrado que existem constantes C>0 e NinN0 tais que
|u(phi(x-a))|<= C,(1+|a|)^N, forall ainR^n

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