Exercício 16. (D.K. ex. 14.23) Suponha que e . Mostre que existem constantes e tais que
Passo 1
O enunciado diz que é uma distribuição temperada em e é uma função de Schwartz. Queremos mostrar que a aplicação de à tradução cresce, no máximo, como uma potência de . Para isso, vamos usar a continuidade de no espaço e as seminormas que definem a topologia de Schwartz.
Passo 2
Por definição de distribuição temperada, existem constantes e um inteiro tais que, para toda ,
Aqui alpha,beta são multiíndices e
supxl|x^beta,partial^alphapsi(x)r|
é uma das seminormas de Schwartz.
Passo 3
Aplique essa estimativa a psi(x)=phi(x-a). Note que
Usamos a desigualdade |y+a|^|beta|<=(1+|y|)^|beta|(1+|a|)^|beta|. Como phi é de Schwartz, para cada alpha,beta existe uma constante Dalpha,beta tal que