Exercício 17. (D.K. ex. 14.27) .Determine as transformadas de Fourier das seguintes funções:
cos (x), sen(x), x sen(x), cos ^2(x), cos ^k(x) para todo k in N0.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier das funções
cos x, sin x, xsin x, cos^2 x e cos^k x ( kinN0), usando a convenção
hat f(omega)=Ff(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
Vamos usar linearidade, representação exponencial de funções trigonométricas, identidade de derivada em frequência
Fx,f(x)=iddomegahat f(omega) e identidades de potências de cosseno.

Passo 2

Para cos x e sin x escrevemos
cos x=e^ix+e^-ix2, sin x=e^ix-e^-ix2i
Como
Fe^i a x=2pi,de<a(omega-a), pela linearidade obtemos
Fcos x =12l(2pi,de<a(omega-1)+2pi,de<a(omega+1)r) =pil[de<a(omega-1)+de<a(omega+1)r],
Fsin x =12il(2pi,de<a(omega-1)-2pi,de<a(omega+1)r) =piil[de<a(omega-1)-de<a(omega+1)r]

Passo 3

Para xsin x usamos a propriedade de derivada em frequência:
Fxsin x =iddomegaFsin x =iddomegal[pii(de<a(omega-1)-de<a(omega+1))r] =piddomegal[de<a(omega-1)-de<a(omega+1)r]

Passo 4

Para cos^2 x usamos a identidade cos^2 x=(1+cos2x)/2. Logo
Fcos^2 x =12F1+12Fcos2x =12,2pi,de<a(omega) +12,pil[de<a(omega-2)+de<a(omega+2)r]
=pi,de<a(omega) +pi2l[de<a(omega-2)+de<a(omega+2)r]

Passo 5

Para cos^k x lembramos que
cos^k x =l(e^ix+e^-ix2r)^k =12^ksumm=0^kbinomkme^i(k-2m)x
Aplicando a transformada em cada termo exponencial:
Fcos^k x =12^ksumm=0^kbinomkm,2pi,de<al(omega-(k-2m)r) =2pi2^ksumm=0^kbinomkm,de<al(omega-(k-2m)r)

Resposta

Fcos x(omega) =pil[de<a(omega-1)+de<a(omega+1)r]
Fsin x(omega) =piil[de<a(omega-1)-de<a(omega+1)r]
Fxsin x(omega) =piddomegal[de<a(omega-1)-de<a(omega+1)r]
Fcos^2 x(omega) =pi,de<a(omega)+pi2l[de<a(omega-2)+de<a(omega+2)r]
Fcos^k x(omega) =2pi2^ksumm=0^kbinomkm,de<al(omega-(k-2m)r)

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