Sejam
um isomorfismo e
uma base de
. Verifique que o conjunto
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um isomorfismo de espaços vetoriais e que
é uma base de
. Como isomorfismo,
é linear, injetora e sobrejetora. Queremos mostrar que
é uma base de
, ou seja, que
gera
e é linearmente independente.
Passo 2
Mostramos primeiro que
gera
. Seja
. Como
é sobrejetora, existe
tal que
. Como
é base de
, podemos escrever
para certos escalares
. Pela linearidade de
,
logo
é combinação linear de elementos de
. Assim
.
Passo 3
Agora provamos que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
Como
é linear, isso implica
Pela injetividade de
, segue
Mas
é base de
e, portanto, é linearmente independente, o que força
. Logo
é linearmente independente.
Passo 4
Como
gera
e é linearmente independente, concluímos que
é base de
.
Resposta
O conjunto
é uma base de
.