Sejam T: U V um isomorfismo e alpha=u1, u2, ldots, un uma base de U. Verifique que o conjunto beta=T(alpha)=T(u1), T(u2), ldots, T(un) é uma base de V.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon Uto V é um isomorfismo de espaços vetoriais e que alpha=u1,u2,dots,un é uma base de U. Como isomorfismo, T é linear, injetora e sobrejetora. Queremos mostrar que
beta = T(alpha) = T(u1),T(u2),dots,T(un)
é uma base de V, ou seja, que beta gera V e é linearmente independente.

Passo 2

Mostramos primeiro que beta gera V. Seja vin V. Como T é sobrejetora, existe uin U tal que T(u)=v. Como alpha é base de U, podemos escrever
u = sumi=1^n ai,ui
para certos escalares a1,dots,an. Pela linearidade de T,
v = T(u) = T!l(sumi=1^n ai,uir) = sumi=1^n ai,T(ui),
logo v é combinação linear de elementos de beta. Assim span(beta)=V.

Passo 3

Agora provamos que beta é linearmente independente. Suponha que existam escalares a1,dots,an tais que
sumi=1^n ai,T(ui) = 0V
Como T é linear, isso implica
T!l(sumi=1^n ai,uir) = 0V
Pela injetividade de T, segue
sumi=1^n ai,ui = 0U
Mas alpha é base de U e, portanto, é linearmente independente, o que força a1=cdots=an=0. Logo beta é linearmente independente.

Passo 4

Como beta gera V e é linearmente independente, concluímos que beta é base de V.

Resposta

O conjunto beta=T(u1),T(u2),dots,T(un) é uma base de V.

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