Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule e^t A nos seguintes casos:
A=(ll0 & 1 1 & 0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial da matriz
A = 0 & 1 1 & 0
no parâmetro t. O conteúdo aqui é a definição de exponencial de matriz via série de potências e o uso das propriedades de potências de A.

Passo 2

Lembramos que, por definição,
e^tA = sumk=0^infty (tA)^kk! = sumk=0^infty t^kk!,A^k
Para prosseguir, precisamos entender como A^k se comporta.

Passo 3

Calculamos
A^2 = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0 = 1 & 0 0 & 1 = I
Daí segue por indução que
A^2m = I, A^2m+1 = A,
para todo inteiro m>=0.

Passo 4

Separamos a série em termos de índices pares e ímpares:
e^tA = summ=0^infty t^2m(2m)!,A^2m + summ=0^infty t^2m+1(2m+1)!,A^2m+1
Usando A^2m=I e A^2m+1=A, obtemos
e^tA = l(summ=0^infty t^2m(2m)!r) I + l(summ=0^infty t^2m+1(2m+1)!r) A

Passo 5

Reconhecemos as séries como as funções hiperbólicas:
cosh(t) = summ=0^infty t^2m(2m)!, sinh(t) = summ=0^infty t^2m+1(2m+1)!
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e^tA = cosh(t),I + sinh(t),A

Resposta

e^tA = cosh(t)1 & 0 0 & 1 + sinh(t)0 & 1 1 & 0 = cosh(t) & sinh(t) sinh(t) & cosh(t)

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