Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule e^t A nos seguintes casos:
A=(lll0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial de matriz
e^tA
onde
A = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
O conteúdo necessário é a definição de exponencial de matriz via série de potências e a noção de matriz nilpotente.

Passo 2

Lembramos que, por definição,
e^tA = sumn=0^infty t^nn!,A^n
Para matrizes nilpotentes de índice k, isto é, A^k=0, a série truncase em n=k-1.

Passo 3

Observamos que A é estritamente triangular superior 3times3, logo A^3=0. Assim a série vira
e^tA = I + tA + t^22!A^2

Passo 4

Calculamos A^2.
A^2 = Acdot A = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora somamos
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , tA = 0 & t & t 0 & 0 & t 0 & 0 & 0 , t^22A^2 = 0 & 0 & tfract^22 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Somando termo a termo obtemos
e^tA = 1 & t & t + tfract^22 0 & 1 & t 0 & 0 & 1

Resposta

e^tA = 1 & t & t + tfract^22 0 & 1 & t 0 & 0 & 1

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