1-17 Mostre que a aplicação linear T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(x-y, x+y), é a composta da homotetia de razão sqrt2 com a rotação de ângulo pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação linear
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(x-y,;x+y)
é a composição de uma homotetia de razão raiz2 com uma rotação de ângulo pi/4.
Para isso, vamos:
1. escrever T em forma matricial;
2. lembrar as matrizes da rotação de ângulo pi/4 e da homotetia de razão raiz2;
3. verificar que o produto dessas matrizes reproduz exatamente T.

Passo 2

Em relação à base canônica de , a aplicação tem matriz
pois

Passo 3

A rotação de ângulo pi/4 tem matriz
Rpi/4 = cospi4 & -sinpi4[6pt] sinpi4 & -cospi4 = 1raiz2 1 & -1 1 & -1 ,
e a homotetia de razão raiz2 é simplesmente
Hraiz2 = raiz2;I = raiz2 1 & 0 0 & 1 ]

Passo 4

Agora computamos a composição Hraiz2circ Rpi/4 por multiplicação de matrizes:
Hraiz2,Rpi/4 = raiz2;I;times;1raiz2 1 & -1 1 & 1 = 1 & -1 1 & 1 = [T]
Portanto, nessa ordem—primeiro rotacionar de pi/4, depois ampliar por raiz2—obtemos exatamente a matriz de T.

Resposta

Mostramos que
T = Hraiz2circ Rpi/4,
ou seja, T é a homotetia de razão raiz2 seguida da rotação de ângulo pi/4.

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