Exercício 16. (Apostol seção 4.10 exercícios 1) Prove que as seguintes matrizes possuem os mesmos autovalores, mas não são similares: (ll1 & 1 0 & 1) e (ll1 & 0 0 & 1)

Passo 1

O enunciado apresenta as matrizes
A=1&10&1 e
B=1&00&1.
Queremos mostrar que ambas têm os mesmos autovalores, mas não são similares. Para isso, vamos calcular o polinômio característico (multiplicidade algébrica) e a dimensão dos espaços próprios (multiplicidade geométrica).

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det1-lambda&10&1-lambda =(1-lambda)^2
Para B=I temos
det(B-lambda I) =det1-lambda&00&1-lambda =(1-lambda)^2
Logo, em ambos o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Agora examinemos a multiplicidade geométrica, isto é, a dimensão do espaço próprio correspondente a .
Para , resolvemos :
logo o espaço próprio é , de dimensão 1.
Para , é a equação trivial , então todo vetor é autovetor. O espaço próprio é , de dimensão 2.

Passo 4

Matrices similares preservam, para cada autovalor, tanto a multiplicidade algébrica quanto a geométrica. Aqui, embora A e B compartilhem a mesma multiplicidade algébrica para lambda=1, suas multiplicidades geométricas são distintas (1 em A, 2 em B). Isso impede que haja uma matriz de mudança de base que faça A=PBP^-1. Portanto, A e B não são similares.

Resposta

As duas matrizes têm autovalor lambda=1 com multiplicidade algébrica 2, mas diferem na multiplicidade geométrica (1 em A, 2 em B), logo não são similares.

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