1. Seja f(x)=a e^-(x-b)^22 c^2, onde a, b e c são constantes.
    (a) Calcule f^prime(x).
    (b) Determine os valores de a, b e c tais que aconteçam simultaneamente os seguintes fatos:
    i. y=4 seja a equação da reta tangente à curva em x=2.
    ii. e^2 y-4=8 x seja a equação da reta tangente em x=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=a,e^-(x-b)^22c^2,
onde a,b,c são constantes, e pede:
(a) a derivada f'(x).
(b) os valores de a,b,c para que as retas tangentes em x=2 e em x=0 sejam, respectivamente,
y=4 e e^2y-4=8x
Para resolver usaremos derivada de uma exponencial composta e a fórmula da reta tangente:
y = f'(x0)(x-x0) + f(x0)

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para
f(x)=a,expl(-tfrac(x-b)^22c^2r),
temos
f'(x) = a,expl(-tfrac(x-b)^22c^2r)cdot ddxl(-tfrac(x-b)^22c^2r) = a,e^-(x-b)^22c^2cdotl(-x-bc^2r)
Ou seja,
f'(x) = -a,(x-b)c^2;e^-(x-b)^22c^2

Passo 3

Para x=2 a reta tangente é y=4, que é horizontal. Logo:
  1. f'(2)=0 implica
-a,(2-b)c^2,e^-(2-b)^22c^2=0 Longrightarrow 2-b=0 Longrightarrow b=2
  1. f(2)=4 implica
a,e^-(2-2)^22c^2=acdot1=4 Longrightarrow a=4

Passo 4

Para x=0 a reta dada é
e^2y-4=8x Long<=ftrightarrow y=8x+4e^2
Assim f(0)=tfrac4e^2 e f'(0)=tfrac8e^2. Usando a=4 e b=2:
f(0)=4,e^-(0-2)^22c^2 =4,e^-42c^2 =4,e^-2c^2 =4e^2
Longrightarrow e^-2c^2=e^-2 Longrightarrow -2c^2=-2 Longrightarrow c^2=1 Longrightarrow c=1
  1. Verificação de f'(0):
f'(0) =-4,(0-2)1^2,e^-(0-2)^22 =8,e^-2 =8e^2,
bate com o coeficiente angular exigido.

Resposta

a=4, b=2, c=1.

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