EXERCÍCIO 3.16: Calcular a perda de carga numa linha de ar comprimido de 1 \frac{1}{2} " de diâmetro e 100 m totais (comprimento real + equivalente), conduzindo 3,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} de ar livre padrão, quando comprimido à pressão de 7 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}, sendo a temperatura de 20^{\circ}.
Dados: \mathrm{d}=1 \frac{1}{2} "=3 / 2 "=1,5(2,5)=3,75 \mathrm{~cm}=0,038 \mathrm{~m}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma tubulação de ar comprimido com diâmetro nominal \,1\tfrac{1}{2}'' (convertido em D=0,038\;\mathrm{m}) e comprimento total L=100\;\mathrm{m}. O fluxo de ar livre padrão é 3{,}5\;\mathrm{m^3/min}, comprimido a 7\;\mathrm{kgf/cm^2} de pressão gauge (temperatura 20^\circ\mathrm{C}). Queremos a perda de carga (em metros de coluna d’água ou em pressão) usando a fórmula de Darcy– Weisbach. Para isso precisaremos de: densidade do ar na pressão de serviço, velocidade do escoamento, número de Reynolds, fator de atrito e então o cálculo de h_f e \Delta p.

Passo 2

Converter o fluxo volumétrico em caudal padrão para massa e depois para caudal no estado comprimido.
O caudal volumétrico padrão é
Q_{\rm std}=\frac{3{,}5}{60}=0{,}05833\;\mathrm{m^3/s}.
A densidade do ar a 1,atm e 20^\circ\mathrm{C} é \rho_{\rm std}=1{,}293\;\mathrm{kg/m^3}, logo a vazão mássica é
\dot m = Q_{\rm std}\,\rho_{\rm std} =0{,}05833\;\times1{,}293 =0{,}0754\;\mathrm{kg/s}.

Passo 3

Determinar a densidade do ar no estado comprimido. A pressão absoluta (considerando 1\;\mathrm{kgf/cm^2}\approx1\,\mathrm{atm}) é
p_{\rm abs}=(7+1)\,\mathrm{atm}=8\,\mathrm{atm},
logo a densidade aumenta na mesma proporção:
\rho = 8\,\rho_{\rm std} =8\times1{,}293 =10{,}34\;\mathrm{kg/m^3}.
O caudal real no tubo é
Q_{\rm real}=\frac{\dot m}{\rho} =\frac{0{,}0754}{10{,}34} =0{,}00729\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade média \,v. A área da seção é
A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi\,(0{,}038)^2}{4} =1{,}134\times10^{-3}\;\mathrm{m^2},
então
v=\frac{Q_{\rm real}}{A} =\frac{0{,}00729}{1{,}134\times10^{-3}} \approx6{,}42\;\mathrm{m/s}.
O número de Reynolds vale
\mathrm{Re}=\frac{v\,D}{\nu} =\frac{6{,}42\times0{,}038}{1{,}5\times10^{-5}} \approx1,6\times10^{4},
indicando escoamento turbulento.

Passo 5

Determinar o fator de atrito f pela equação de Colebrook (para aço com rugosidade típica \epsilon\approx4{,}6\times10^{-5}\;\mathrm m). A resolução iterativa dá
f\approx0{,}03.

Passo 6

Calcular a perda de carga por Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2\,g}.
Substituindo
\frac{L}{D}=\frac{100}{0{,}038}=2631{,}6, \quad \frac{v^2}{2g}=\frac{6{,}42^2}{2\times9{,}81}\approx2{,}10\;\mathrm m,
obtemos
h_f =0{,}03\times2631{,}6\times2{,}10 \approx166\;\mathrm m.

Passo 7

Converter para perda de pressão \Delta p=\rho\,g\,h_f:
\Delta p =10{,}34\times9{,}81\times166 \approx16{,}8\times10^{3}\;\mathrm{Pa} \approx0{,}168\;\mathrm{bar}.

Resposta

A perda de carga na tubulação é aproximadamente
h_f\approx166\;\mathrm m\quad\text{ou}\quad\Delta p\approx0{,}17\;\mathrm{bar}.

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