EXERCÍCIO 3.17: Determinar a perda de pressão em uma tubulação de 200 m e um diâmetro de 0,10 \mathrm{~m}, por onde escoam 35 \mathrm{~m}^{3} de ar livre por minuto, à pressão de 7 atm manométricas e temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Dados: \mathrm{d}=0,10 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado diz que temos ar escoando por uma tubulação de comprimento L=200\:\mathrm{m} e diâmetro D=0{,}10\:\mathrm{m}. O escoamento é de 35\:\mathrm{m^3} de ar livre por minuto, na condição interna de pressão manométrica de 7\:\mathrm{atm} e temperatura de 30^\circ\mathrm{C}. Vamos usar:
1. Conversão do vazão volumétrica medida em “ar livre” para a vazão no conduto usando o gás ideal.
2. Cálculo da velocidade média U.
3. Cálculo da densidade \rho no tubo e do número de Reynolds \mathrm{Re}.
4. Estimativa do fator de atrito f (Blasius).
5. Equação de Darcy–Weisbach para perda de carga \Delta p.

Passo 2

Primeiro convertemos a vazão volumétrica medida em pressão atmosférica para a vazão na tubulação de pressão absoluta p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{atm}}+7\:\mathrm{atm}=8\:\mathrm{atm}. Como a temperatura de referência (ar livre) e do tubo é a mesma ( 30^\circ\mathrm{C}), temos
Q_{\mathrm{tubo}} =Q_{\mathrm{livre}}\;\frac{p_{\mathrm{atm}}}{p_{\mathrm{abs}}} =35\:\frac{\mathrm{m^3}}{\min}\;\frac{1}{8} =4{,}375\:\frac{\mathrm{m^3}}{\min}
Convertendo para \mathrm{m^3/s}:
Q = 4{,}375\:\frac{\mathrm{m^3}}{\min}\times \frac{1}{60} =0{,}07292\:\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s}}.

Passo 3

A área da secção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}10)^2}{4} =7{,}854\times 10^{-3}\:\mathrm{m^2}.
A velocidade média é
U = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}07292}{7{,}854\times 10^{-3}} \approx 9{,}28\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

A densidade do ar no tubo, usando gás ideal \bigl(pV=\rho R T\bigr), com R=287\:\mathrm{J/(kg\cdot K)} e T=303\:\mathrm{K}, é
\rho = \frac{p_{\mathrm{abs}}}{R\,T} = \frac{8\times 101\,325}{287\times 303} \approx 9{,}31\:\mathrm{kg/m^3}.
A viscosidade dinâmica do ar a 30^\circ\mathrm{C} vale aproximadamente \mu=1{,}85\times 10^{-5}\:\mathrm{Pa\cdot s}. Então o número de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,U\,D}{\mu} = \frac{9{,}31\cdot 9{,}28\cdot 0{,}10}{1{,}85\times 10^{-5}} \approx 4{,}7\times 10^5,
logo escoamento turbulento.

Passo 5

Para \mathrm{Re}\approx 4{,}7\times10^5 e tubo liso, usamos a correlação de Blasius
f = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0.25} = 0{,}3164\,(4{,}7\times10^5)^{-0.25} \approx 0{,}0121.

Passo 6

Por Darcy–Weisbach, a perda de carga é
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,U^2}{2}.
Calculando:
\displaystyle \frac{L}{D}=\frac{200}{0,10}=2000,
\displaystyle \frac{\rho\,U^2}{2}=9,31\cdot\frac{(9,28)^2}{2}\approx 401,5\:\mathrm{Pa}.
Logo
\Delta p =0,0121\times 2000\times 401,5 \approx 9,7\times 10^{3}\:\mathrm{Pa} =9,7\:\mathrm{kPa}.

Resposta

A perda de pressão na tubulação é aproximadamente 9{,}7\:\mathrm{kPa}.

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