Exercício 4.16.2 Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir.
\int \operatorname{coth}^{2}(3 z) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \coth^{2}(3z)\,dz.
O conteúdo principal aqui é integração de funções hiperbólicas. Vamos usar a identidade que relaciona \coth^2 e \operatorname{csch}^2 e a derivada de \coth.

Passo 2

Usamos a identidade conhecida para funções hiperbólicas:
\coth^{2}u = 1 + \operatorname{csch}^{2}u.
Aplicando com u=3z, obtemos
\coth^{2}(3z) = 1 + \operatorname{csch}^{2}(3z).

Passo 3

Substituindo na integral, separamos em duas partes:
\int \coth^{2}(3z)\,dz = \int \bigl[1 + \operatorname{csch}^{2}(3z)\bigr]\,dz = \int 1\,dz \;+\; \int \operatorname{csch}^{2}(3z)\,dz.

Passo 4

A primeira integral é imediata:
\int 1\,dz = z.

Passo 5

Para a segunda, fazemos a substituição u = 3z, logo du = 3\,dz ou dz = \tfrac{1}{3}\,du. Assim,
\int \operatorname{csch}^{2}(3z)\,dz = \int \operatorname{csch}^{2}(u)\,\frac{du}{3} = \tfrac{1}{3}\int \operatorname{csch}^{2}(u)\,du.
Sabendo que \frac{d}{du}\bigl[\coth(u)\bigr] = -\,\operatorname{csch}^{2}(u), temos
\int \operatorname{csch}^{2}(u)\,du = -\,\coth(u) + C.
Portanto,
\int \operatorname{csch}^{2}(3z)\,dz = -\tfrac{1}{3}\,\coth(u) + C = -\tfrac{1}{3}\,\coth(3z) + C.

Passo 6

Juntando as duas partes, a integral original fica
\int \coth^{2}(3z)\,dz = z \;-\;\tfrac{1}{3}\,\coth(3z) + C.

Resposta

z - \tfrac{1}{3}\,\coth(3z) + C.

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