Exercício 4.16.1 Calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
f(x)=\ln (\operatorname{tanh} (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{tanh}(x)\bigr).
O tema é diferenciação de funções compostas, usando a regra da cadeia e as derivadas das funções hiperbólicas.

Passo 2

Lembrando a regra da cadeia para logaritmo: se g(x)=\ln(u(x)), então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Também precisamos da derivada de \operatorname{tanh}(x). Por definição,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tanh}(x)\bigr)=\sech^2(x).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em f(x):
f'(x) =\frac{\bigl(\operatorname{tanh}(x)\bigr)'}{\operatorname{tanh}(x)} =\frac{\sech^2(x)}{\operatorname{tanh}(x)}.

Passo 5

Podemos simplificar usando \sech(x)=1/\operatorname{cosh}(x) e \operatorname{tanh}(x)=\operatorname{sinh}(x)/\operatorname{cosh}(x):
\frac{\sech^2(x)}{\operatorname{tanh}(x)} =\frac{1/\operatorname{cosh}^2(x)}{\operatorname{sinh}(x)/\operatorname{cosh}(x)} =\frac{1}{\operatorname{sinh}(x)\,\operatorname{cosh}(x)}.
Opcionalmente, usando identidades, chega-se também a
f'(x)=\coth(x)-\operatorname{tanh}(x) \quad\text{ou}\quad f'(x)=\frac{2}{\operatorname{sinh}(2x)}.

Resposta

f'(x)=\frac{\sech^2(x)}{\operatorname{tanh}(x)} =\frac{1}{\operatorname{sinh}(x)\,\operatorname{cosh}(x)} =\coth(x)-\operatorname{tanh}(x) =\frac{2}{\operatorname{sinh}(2x)}.

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