Exercício 4.16.2 Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir.
\int \operatorname{sech}^{2}(t) \operatorname{tanh} ^{5}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sech^{2}(t)\,\operatorname{tanh}^{5}(t)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de funções hiperbólicas usando substituição. Vamos usar que
\dfrac{d}{dt}\bigl(\operatorname{tanh}(t)\bigr)=\sech^{2}(t).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{tanh}(t),
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du = \sech^{2}(t)\,dt.
Isso transforma toda a parte hiperbólica em termos de u.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, temos
\int \sech^{2}(t)\,\operatorname{tanh}^{5}(t)\,dt = \int u^{5}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar a potência de u:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.

Passo 5

Voltando à variável original t, substituímos u=\operatorname{tanh}(t), obtendo
\frac{\operatorname{tanh}^{6}(t)}{6} + C.

Resposta

\frac{\operatorname{tanh}^{6}(t)}{6} + C.

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