Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 \mathrm{f}}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a EDO
y'' - 2y' + y = e^{2t},
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas, inserir as condições iniciais e depois inverter de volta para y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, obtemos:
\mathcal{L}\{y''\} - 2\,\mathcal{L}\{y'\} + \mathcal{L}\{y\} =\frac{1}{s-2}.
Como
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0), \quad \mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0),
e y(0)=0, y'(0)=0, isso vira
\bigl(s^2 - 2s + 1\bigr)Y(s) = \frac{1}{s-2}.

Passo 3

Isolando Y(s), temos
Y(s) = \frac{1}{(s^2 - 2s + 1)(s-2)} = \frac{1}{(s-1)^2\,(s-2)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(s-1)^2(s-2)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s-1} + \frac{C}{(s-1)^2}.
Multiplicando por (s-1)^2(s-2):
1 = A(s-1)^2 + B(s-2)(s-1) + C(s-2).
Escolhendo valores especiais:
  • Para s=2: 1 = A\cdot1^2 \implies A=1.
  • Para s=1: 1 = C\,(1-2) \implies C=-1.
    Comparando coeficiente de s^2 A+B=0, logo B=-1. Assim
Y(s) = \frac{1}{s-2} - \frac{1}{s-1} - \frac{1}{(s-1)^2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s-2}\Bigr\} = e^{2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\} = e^{t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s-1)^2}\Bigr\} = t\,e^{t}.
Logo
y(t) = e^{2t} \;-\; e^{t} \;-\; t\,e^{t} = e^{2t} \;-\; \bigl(1+t\bigr)e^{t}.

Resposta

y(t) = e^{2t} - (1+t)\,e^{t}.

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