Calcule a derivada das seguintes funções.
y=\operatorname{sen}(4 x)^{\cos (3 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(\sin(4x)\bigr)^{\cos(3x)}
Esse tipo de função tem variável tanto na base quanto no expoente, então vamos usar diferenciação logarítmica: primeiro fazemos \ln(y), depois derivamos ambos os lados e, por fim, isolamos y'.

Passo 2

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, temos
\ln(y) = \cos(3x)\,\ln\bigl(\sin(4x)\bigr).

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo vem
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(y)\bigr] = \frac{y'}{y},
e no direito usamos regra do produto em \cos(3x)\,\ln(\sin(4x)):
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(3x)\bigr]\cdot\ln(\sin(4x)) +\cos(3x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\sin(4x))\bigr].
Como \frac{d}{dx}[\cos(3x)] = -3\sin(3x) e \frac{d}{dx}[\ln(\sin(4x))] = \frac{4\cos(4x)}{\sin(4x)}, obtemos
\frac{y'}{y} = -3\sin(3x)\,\ln\bigl(\sin(4x)\bigr) + \cos(3x)\,\frac{4\cos(4x)}{\sin(4x)}.

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y\Bigl[ -3\sin(3x)\,\ln\bigl(\sin(4x)\bigr) +4\cos(3x)\,\frac{\cos(4x)}{\sin(4x)} \Bigr].
Substituindo y = \bigl(\sin(4x)\bigr)^{\cos(3x)}, fica
y' = \bigl(\sin(4x)\bigr)^{\cos(3x)} \Bigl[ 4\cos(3x)\,\frac{\cos(4x)}{\sin(4x)} -3\sin(3x)\,\ln\bigl(\sin(4x)\bigr) \Bigr].

Resposta

y' = \bigl(\sin(4x)\bigr)^{\cos(3x)} \Bigl[ 4\cos(3x)\,\frac{\cos(4x)}{\sin(4x)} -3\sin(3x)\,\ln\bigl(\sin(4x)\bigr) \Bigr].

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