Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{4}-5 x^{3}+4 x^{2}+3 x+9}{2 x^{2}-3 x-9}

Passo 1

O enunciado pede: calcular, se existir, o limite
\lim_{x \to 3} \frac{x^{4}-5x^{3}+4x^{2}+3x+9}{2x^{2}-3x-9}.
Informações dadas:
  • A função que aparece é a razão entre um polinômio de grau 4 no numerador e um polinômio quadrático no denominador.
  • O ponto onde se avalia o limite é x=3.
    O que se solicita: determinar o valor desse limite ou, se não existir, explicar o porquê.

Passo 2

Teste direto por substituição: calcular numerador e denominador em x=3.
\text{Numerador em }x=3: 3^{4}-5\cdot3^{3}+4\cdot3^{2}+3\cdot3+9
=81-135+36+9+9=0.
\text{Denominador em }x=3: 2\cdot3^{2}-3\cdot3-9
=18-9-9=0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Escolha do método: para quocientes de polinômios que produzem 0/0, o método mais direto (e usual em provas) é fatorar e cancelar fatores comuns entre numerador e denominador. Outra opção seria L’Hôpital, mas aqui a fatoração é algébrica, exata e eficiente — por isso vou usar fatoração e cancelamento.
Vou então fatorar o denominador e o numerador, procurando fatores (x-3) já que x=3 anulou ambos.

Passo 4

Fatoração do denominador. O denominador é 2x^{2}-3x-9. Usamos a fórmula quadrática ou fatoramos por raízes:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot2\cdot(-9)=9+72=81.
As raízes são
x=\frac{3\pm\sqrt{81}}{2\cdot2}=\frac{3\pm9}{4}.
Portanto as raízes são x=3 e x=-\tfrac{3}{2}. Assim o polinômio fatora como
2x^{2}-3x-9=(x-3)(2x+3).
Verificação rápida (multiplicando): (x-3)(2x+3)=2x^{2}-3x-9, OK.

Passo 5

Fatoração do numerador. O numerador é x^{4}-5x^{3}+4x^{2}+3x+9. Como x=3 zera o numerador, x-3 é fator. Vou dividir sinteticamente o polinômio por x-3.
Coeficientes: 1,\\\ -5,\\\ 4,\\\ 3,\\\ 9.
Divisão sintética por 3:
  • Baixo 1.
  • Multiplica por 3: 1\cdot3=3. Soma com -5 -2.
  • Multiplica por 3: -2\cdot3=-6. Soma com 4 -2.
  • Multiplica por 3: -2\cdot3=-6. Soma com 3 -3.
  • Multiplica por 3: -3\cdot3=-9. Soma com 9 0 (resto).
O quociente obtido é o polinômio de grau 3 com coeficientes 1,\,-2,\,-2,\,-3, ou seja x^{3}-2x^{2}-2x-3. Como o resto é zero, temos
x^{4}-5x^{3}+4x^{2}+3x+9=(x-3)\bigl(x^{3}-2x^{2}-2x-3\bigr).

Passo 6

Verificamos agora se o quociente x^{3}-2x^{2}-2x-3 tem novamente x-3 como fator (é comum acontecerem fatores repetidos). Avaliando em x=3:
3^{3}-2\cdot3^{2}-2\cdot3-3=27-18-6-3=0.
Como zera, dividimos de novo por x-3 (divisão sintética sobre 1,-2,-2,-3 com 3):
  • Baixo 1.
  • 1\cdot3=3. Soma com -2 1.
  • 1\cdot3=3. Soma com -2 1.
  • 1\cdot3=3. Soma com -3 0.
    Quociente: 1,1,1 x^{2}+x+1. Logo
x^{3}-2x^{2}-2x-3=(x-3)(x^{2}+x+1).

Passo 7

Juntando as fatorações do numerador e denominador:
\frac{x^{4}-5x^{3}+4x^{2}+3x+9}{2x^{2}-3x-9} =\frac{(x-3)(x^{3}-2x^{2}-2x-3)}{(x-3)(2x+3)} =\frac{(x-3)^{2}(x^{2}+x+1)}{(x-3)(2x+3)}.
Para x\neq3 podemos simplificar um fator (x-3), obtendo a forma equivalente
\frac{x^{4}-5x^{3}+4x^{2}+3x+9}{2x^{2}-3x-9}=\frac{(x-3)\,(x^{2}+x+1)}{2x+3}.

Passo 8

Agora a função simplificada não apresenta mais indeterminação quando x se aproxima de 3: o fator que causava o zero no denominador foi cancelado uma vez, restando um fator (x-3) no numerador. Como a expressão simplificada é um produto de funções contínuas perto de x=3, podemos calcular o limite por substituição direta:
\lim_{x\to3}\frac{(x-3)\,(x^{2}+x+1)}{2x+3}= \frac{(3-3)\,(3^{2}+3+1)}{2\cdot3+3}.
Calcule as partes:
3^{2}+3+1=9+3+1=13,\qquad 2\cdot3+3=9.
Portanto
\lim_{x\to3}\frac{(x-3)\,(x^{2}+x+1)}{2x+3}=\frac{0\cdot13}{9}=0.

Resposta

0

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