Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede: calcular, se existir, o limite
Informações dadas:
- A função que aparece é a razão entre um polinômio de grau 4 no numerador e um polinômio quadrático no denominador.
- O ponto onde se avalia o limite é
.
O que se solicita: determinar o valor desse limite ou, se não existir, explicar o porquê.
Passo 2
Teste direto por substituição: calcular numerador e denominador em
.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Escolha do método: para quocientes de polinômios que produzem
, o método mais direto (e usual em provas) é fatorar e cancelar fatores comuns entre numerador e denominador. Outra opção seria L’Hôpital, mas aqui a fatoração é algébrica, exata e eficiente — por isso vou usar fatoração e cancelamento.
Vou então fatorar o denominador e o numerador, procurando fatores
já que
anulou ambos.
Passo 4
Fatoração do denominador. O denominador é
. Usamos a fórmula quadrática ou fatoramos por raízes:
As raízes são
Portanto as raízes são
e
. Assim o polinômio fatora como
Verificação rápida (multiplicando):
, OK.
Passo 5
Fatoração do numerador. O numerador é
. Como
zera o numerador,
é fator. Vou dividir sinteticamente o polinômio por
.
Coeficientes:
.
Divisão sintética por :
Divisão sintética por
- Baixo
. - Multiplica por
: . Soma com → . - Multiplica por
: . Soma com → . - Multiplica por
: . Soma com → . - Multiplica por
: . Soma com → (resto).
O quociente obtido é o polinômio de grau 3 com coeficientes
, ou seja
. Como o resto é zero, temos
Passo 6
Verificamos agora se o quociente
tem novamente
como fator (é comum acontecerem fatores repetidos). Avaliando em
:
Como zera, dividimos de novo por
(divisão sintética sobre
com
):
- Baixo
. -
. Soma com → . -
. Soma com → . -
. Soma com → .
Quociente:→ . Logo
Passo 7
Juntando as fatorações do numerador e denominador:
Para
podemos simplificar um fator
, obtendo a forma equivalente
Passo 8
Agora a função simplificada não apresenta mais indeterminação quando
se aproxima de
: o fator que causava o zero no denominador foi cancelado uma vez, restando um fator
no numerador. Como a expressão simplificada é um produto de funções contínuas perto de
, podemos calcular o limite por substituição direta:
Calcule as partes:
Portanto