Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
Informações dadas: a expressão dentro do limite é a função
e a variável
aproxima-se de
. A tarefa é encontrar o valor desse limite ou justificar por que ele não existe.
Passo 2
Primeira tentativa: testar substituição direta
. Substituindo em cada parte temos os valores numéricos (isto é apenas teste, não é a resolução final):
Como ao substituir obtemos a forma
, isso é uma indeterminação — significa que não dá para concluir o limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação. Uma técnica clássica para lidar com raízes é multiplicar pelo conjugado do numerador (ou do denominador) para racionalizar.
Passo 3
Aplicar a racionalização usando o conjugado do numerador. Multiplica-se numerador e denominador por
(o conjugado de
):
No numerador ocorre uma diferença de quadrados; desenvolver:
Portanto a expressão fica
válida para
(a multiplicação pelo conjugado não altera a função quando
).
Passo 4
Agora podemos cancelar o fator comum
(novamente isso só vale para
, mas serve para determinar o limite):
A função simplificada
é contínua no entorno de
(porque a raiz e a soma no denominador são contínuas e o denominador não é zero). Assim o limite quando
é simplesmente o valor dessa expressão em
. Substituindo:
Passo 5
Observação rápida (checagem alternativa): poderia-se também usar a regra de L’Hôpital, já que tínhamos a forma indeterminada
. Derivando numerador e denominador:
Pela regra de L’Hôpital,
o que confirma o resultado anterior. (Escolhemos a racionalização como método principal por ser algébrico e direto.)