Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-\sqrt{x+3}}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2-\sqrt{x+3}}{1-x}.
Informações dadas: a expressão dentro do limite é a função \dfrac{2-\sqrt{x+3}}{1-x} e a variável x aproxima-se de 1. A tarefa é encontrar o valor desse limite ou justificar por que ele não existe.

Passo 2

Primeira tentativa: testar substituição direta x=1. Substituindo em cada parte temos os valores numéricos (isto é apenas teste, não é a resolução final):
\text{numerador: }2-\sqrt{1+3}=2-\sqrt{4}=2-2=0, \qquad \text{denominador: }1-1=0.
Como ao substituir obtemos a forma 0/0, isso é uma indeterminação — significa que não dá para concluir o limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação. Uma técnica clássica para lidar com raízes é multiplicar pelo conjugado do numerador (ou do denominador) para racionalizar.

Passo 3

Aplicar a racionalização usando o conjugado do numerador. Multiplica-se numerador e denominador por 2+\sqrt{x+3} (o conjugado de 2-\sqrt{x+3}):
\frac{2-\sqrt{x+3}}{1-x}\cdot\frac{2+\sqrt{x+3}}{2+\sqrt{x+3}} =\frac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})}{(1-x)(2+\sqrt{x+3})}.
No numerador ocorre uma diferença de quadrados; desenvolver:
(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})=2^2-(\sqrt{x+3})^2=4-(x+3)=1-x.
Portanto a expressão fica
\frac{1-x}{(1-x)\,(2+\sqrt{x+3})},
válida para x\neq 1 (a multiplicação pelo conjugado não altera a função quando x\neq1).

Passo 4

Agora podemos cancelar o fator comum 1-x (novamente isso só vale para x\neq1, mas serve para determinar o limite):
\frac{1-x}{(1-x)\,(2+\sqrt{x+3})}=\frac{1}{2+\sqrt{x+3}}\qquad (x\neq1).
A função simplificada \dfrac{1}{2+\sqrt{x+3}} é contínua no entorno de x=1 (porque a raiz e a soma no denominador são contínuas e o denominador não é zero). Assim o limite quando x\to1 é simplesmente o valor dessa expressão em x=1. Substituindo:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{2+\sqrt{x+3}}=\frac{1}{2+\sqrt{1+3}}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Observação rápida (checagem alternativa): poderia-se também usar a regra de L’Hôpital, já que tínhamos a forma indeterminada 0/0. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\big(2-\sqrt{x+3}\big)=-\frac{1}{2\sqrt{x+3}},\qquad \frac{d}{dx}(1-x)=-1.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to1}\frac{2-\sqrt{x+3}}{1-x} =\lim_{x\to1}\frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}}{-1} =\lim_{x\to1}\frac{1}{2\sqrt{x+3}} =\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4},
o que confirma o resultado anterior. (Escolhemos a racionalização como método principal por ser algébrico e direto.)

Resposta

\dfrac{1}{4}

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