Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2+5^{x}}{3 \cdot 5^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, o limite
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2+5^{x}}{3\cdot 5^{x}-1}.
Informações dadas:
  • A função cuja limite queremos é f(x)=\dfrac{2+5^{x}}{3\cdot 5^{x}-1}.
  • A variável x tende para +\infty.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos observar o comportamento das partes da expressão quando x \to +\infty.
  • A sequência/exponencial \,5^{x}\, tende para +\infty quando x\to+\infty.
  • Então tanto o numerador 2+5^{x} quanto o denominador 3\cdot5^{x}-1 tendem para +\infty. Assim a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{+\infty}{+\infty}, ou seja, não dá para concluir o valor do limite só por isso.
  • Estratégia escolhida (explicando por que): quando várias parcelas envolvem a mesma potência que cresce muito (aqui 5^{x}), é conveniente dividir numerador e denominador por essa potência dominante para tornar explícito o comportamento das parcelas menores (constantes divididas por 5^{x} tendem a zero).

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por 5^{x}. Fazer isso é equivalente a multiplicar a fração por \dfrac{1/5^{x}}{1/5^{x}}. Obtemos:
\frac{2+5^{x}}{3\cdot 5^{x}-1} = \frac{\dfrac{2}{5^{x}} + \dfrac{5^{x}}{5^{x}}}{\dfrac{3\cdot 5^{x}}{5^{x}} - \dfrac{1}{5^{x}}} = \frac{\dfrac{2}{5^{x}} + 1}{3 - \dfrac{1}{5^{x}}}.

Passo 4

Agora avaliaremos os limites das parcelas simples que apareceram:
  • Como 5^{x}\to +\infty, tem-se
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{5^{x}} = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{5^{x}} = 0.
Isto porque a recíproca de uma quantidade que tende a infinito tende a zero.

Passo 5

Aplicando propriedades de limites (limite da soma e quociente quando o limite do denominador é diferente de zero), obtemos:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{2}{5^{x}} + 1}{3 - \dfrac{1}{5^{x}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{5^{x}} + \lim_{x\to+\infty}1}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}3 - \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{5^{x}}} = \frac{0 + 1}{3 - 0} = \frac{1}{3}.
O denominador limite é 3, diferente de zero, então a operação é válida.

Passo 6

Comentário rápido e dica prática: sempre que aparecer uma expressão do tipo \dfrac{A + B a^{x}}{C + D a^{x}} com a>1 e B e D não ambos nulos, o limite quando x\to+\infty é \dfrac{B}{D}. Aqui B=1 e D=3, logo \dfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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