Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular, se existir, o limite
Informações dadas:
- A função cuja limite queremos é
. - A variável
tende para . - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vamos observar o comportamento das partes da expressão quando
.
- A sequência/exponencial
tende para quando . - Então tanto o numerador
quanto o denominador tendem para . Assim a expressão tem a forma indeterminada , ou seja, não dá para concluir o valor do limite só por isso. - Estratégia escolhida (explicando por que): quando várias parcelas envolvem a mesma potência que cresce muito (aqui
), é conveniente dividir numerador e denominador por essa potência dominante para tornar explícito o comportamento das parcelas menores (constantes divididas por tendem a zero).
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
. Fazer isso é equivalente a multiplicar a fração por
. Obtemos:
Passo 4
Agora avaliaremos os limites das parcelas simples que apareceram:
- Como
, tem-se
Isto porque a recíproca de uma quantidade que tende a infinito tende a zero.
Passo 5
Aplicando propriedades de limites (limite da soma e quociente quando o limite do denominador é diferente de zero), obtemos:
O denominador limite é
, diferente de zero, então a operação é válida.
Passo 6
Comentário rápido e dica prática: sempre que aparecer uma expressão do tipo
com
e
e
não ambos nulos, o limite quando
é
. Aqui
e
, logo
.