Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede: calcular, se existir, o limite
Informações importantes dadas:
- A função em questão é a função racional em termos de
: numerador e denominador . - A variável
tende a . - Não há outras restrições explícitas no enunciado (domínio natural é todos os
, exceto pontos que anulassem o denominador, mas para valores reais de o denominador só seria zero se , o que é um caso isolado que não ocorre quando ).
Passo 2
Entender o comportamento de
quando
.
A função exponencial com base maior que 1 tem a propriedade
Explicando de modo concreto: escrever
. Quando
tem-se
, logo
, e portanto
. Além disso,
para todo
, então
(tende a zero pela direita, isto é, permanece positivo).
Passo 3
Fazer uma substituição que deixe a expressão mais simples: defina
Com
temos, conforme explicado,
. A expressão original em
fica
Portanto o limite procurado é
Passo 4
Calcular o limite em
. A função
é uma função racional e é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. No ponto
o denominador vale
, logo não há problema de descontinuidade ali. Para funções contínuas, o limite quando a variável tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim podemos substituir
diretamente:
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida: como
tende a
, os termos que contêm
desaparecem no limite, sobrando essencialmente
. Não há dependência lateral problemática (tendemos por
, mas a continuidade em
do numerador e denominador garante o resultado).