Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2+5^{x}}{3 \cdot 5^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{2+5^{x}}{3\cdot 5^{x}-1}.
Informações importantes dadas:
  • A função em questão é a função racional em termos de 5^{x}: numerador 2+5^{x} e denominador 3\cdot5^{x}-1.
  • A variável x tende a -\infty.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado (domínio natural é todos os x\in\mathbb{R}, exceto pontos que anulassem o denominador, mas para valores reais de x o denominador só seria zero se 3\cdot5^{x}=1, o que é um caso isolado que não ocorre quando x\to -\infty).

Passo 2

Entender o comportamento de 5^{x} quando x\to -\infty.
A função exponencial com base maior que 1 tem a propriedade
\lim_{x\to -\infty} a^{x} = 0\quad\text{para }a>1.
Explicando de modo concreto: escrever 5^{x}=\dfrac{1}{5^{-x}}. Quando x\to -\infty tem-se -x\to +\infty, logo 5^{-x}\to +\infty, e portanto 5^{x}=\dfrac{1}{5^{-x}}\to 0. Além disso, 5^{x}>0 para todo x, então 5^{x}\to 0^{+} (tende a zero pela direita, isto é, permanece positivo).

Passo 3

Fazer uma substituição que deixe a expressão mais simples: defina
t=5^{x}.
Com x\to -\infty temos, conforme explicado, t\to 0^{+}. A expressão original em t fica
\frac{2+5^{x}}{3\cdot5^{x}-1}=\frac{2+t}{3t-1}.
Portanto o limite procurado é
\lim_{x\to -\infty}\frac{2+5^{x}}{3\cdot5^{x}-1}=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{2+t}{3t-1}.

Passo 4

Calcular o limite em t. A função g(t)=\dfrac{2+t}{3t-1} é uma função racional e é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. No ponto t=0 o denominador vale 3\cdot0-1=-1\neq 0, logo não há problema de descontinuidade ali. Para funções contínuas, o limite quando a variável tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim podemos substituir t=0 diretamente:
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{2+t}{3t-1}=\frac{2+0}{3\cdot 0-1}=\frac{2}{-1}=-2.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida: como 5^{x} tende a 0^{+}, os termos que contêm 5^{x} desaparecem no limite, sobrando essencialmente \dfrac{2}{-1}=-2. Não há dependência lateral problemática (tendemos por t\to 0^{+}, mas a continuidade em 0 do numerador e denominador garante o resultado).

Resposta

-2

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