Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1+3 \cdot 2^{x}}{5 \cdot 0,25^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{1+3\cdot 2^{x}}{5\cdot 0,25^{x}-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é a razão entre um numerador 1+3\cdot 2^{x} e um denominador 5\cdot 0,25^{x}-1.
  • Note que 0,25=\tfrac{1}{4}. Portanto 0,25^{x}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{x}.

Passo 2

Lembra das propriedades básicas das potências exponenciais que vamos usar (mini-aula rápida):
  • Se a base a>1, então \lim_{x\to -\infty}a^{x}=0. Ex.: \lim_{x\to -\infty}2^{x}=0.
  • Se a base 0<a<1, então \lim_{x\to -\infty}a^{x}=+\infty. Ex.: com a=\tfrac{1}{4} temos \lim_{x\to -\infty}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{x}=+\infty porque \left(\tfrac{1}{4}\right)^{x}=(4)^{-x} e -x\to+\infty.
Aplicando isso aqui:
  • \lim_{x\to -\infty}2^{x}=0.
  • \lim_{x\to -\infty}0,25^{x}=+\infty.
Portanto o numerador tende para 1+3\cdot 0=1, enquanto o termo dominante do denominador 5\cdot 0,25^{x} tende para +\infty. Isso já sugere que a razão tende a 0. Vamos fazer isso de forma algébrica e rigorosa.

Passo 3

Fazer uma manipulação que deixe claro o comportamento: dividir numerador e denominador por 0,25^{x} (que vai para +\infty, mas dividir é apenas uma álgebra válida quando feita formalmente). Escrevemos
\frac{1+3\cdot 2^{x}}{5\cdot 0,25^{x}-1} = \frac{\dfrac{1}{0,25^{x}}+\dfrac{3\cdot 2^{x}}{0,25^{x}}}{5-\dfrac{1}{0,25^{x}}}.
Agora simplificamos as potências em base 2. Como 0,25=\tfrac{1}{4}=2^{-2}, temos 0,25^{x}=2^{-2x}. Assim
\dfrac{1}{0,25^{x}}=2^{2x},\qquad \dfrac{2^{x}}{0,25^{x}}=2^{x}\cdot 2^{2x}=2^{3x}.
Então a expressão fica
\frac{1+3\cdot 2^{x}}{5\cdot 0,25^{x}-1} = \frac{2^{2x}+3\cdot 2^{3x}}{5-2^{2x}}.

Passo 4

Agora analisamos os limites das potências que surgiram quando x\to -\infty:
  • \lim_{x\to -\infty}2^{2x}=\lim_{x\to -\infty}(2^{2})^{x}=\lim_{x\to -\infty}4^{x}=0 porque 4>1 e o expoente vai para -\infty.
  • \lim_{x\to -\infty}2^{3x}=\lim_{x\to -\infty}(2^{3})^{x}=\lim_{x\to -\infty}8^{x}=0.
Substituindo esses limites na forma simplificada:
\lim_{x\to -\infty}\frac{2^{2x}+3\cdot 2^{3x}}{5-2^{2x}} =\frac{0+3\cdot 0}{5-0}=\frac{0}{5}=0.

Passo 5

Interpretação intuitiva final (pra você levar pra prova): ao ir para x\to -\infty o termo 2^{x} vira praticamente zero, enquanto 0,25^{x} explode para +\infty. Logo o numerador fica próximo de 1 e o denominador cresce sem limite positivo, o que força a razão a zero. Portanto o limite existe e é 0.

Resposta

\,0

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