Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é a razão entre um numerador
e um denominador . - Note que
. Portanto .
Passo 2
Lembra das propriedades básicas das potências exponenciais que vamos usar (mini-aula rápida):
- Se a base
, então . Ex.: . - Se a base
, então . Ex.: com temos porque e .
Aplicando isso aqui:
-
. -
.
Portanto o numerador tende para
, enquanto o termo dominante do denominador
tende para
. Isso já sugere que a razão tende a
. Vamos fazer isso de forma algébrica e rigorosa.
Passo 3
Fazer uma manipulação que deixe claro o comportamento: dividir numerador e denominador por
(que vai para
, mas dividir é apenas uma álgebra válida quando feita formalmente). Escrevemos
Agora simplificamos as potências em base
. Como
, temos
. Assim
Então a expressão fica
Passo 4
Agora analisamos os limites das potências que surgiram quando
:
-
porque e o expoente vai para . -
.
Substituindo esses limites na forma simplificada:
Passo 5
Interpretação intuitiva final (pra você levar pra prova): ao ir para
o termo
vira praticamente zero, enquanto
explode para
. Logo o numerador fica próximo de
e o denominador cresce sem limite positivo, o que força a razão a zero. Portanto o limite existe e é
.