Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 \cdot 2^{x}}{5 \cdot 0,25^{x}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular, se existir, o limite quando x\to+\infty da função
\frac{3\cdot 2^{x}}{5\cdot 0,25^{x}-1}.
  • Informação importante: a expressão envolve potências com base maior que 1 ( 2^{x}) e com base entre 0 e 1 ( 0,25^{x}). O objetivo é decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor; se não existir, explicar o porquê.

Passo 2

Entendendo o comportamento das potências (uma mini-aula rápida e prática).
  • Regra chave: se a>1 então \lim_{x\to+\infty} a^{x}=+\infty (cresce exponencialmente).
    Aplicando: \lim_{x\to+\infty} 2^{x}=+\infty.
  • Regra chave: se 0<a<1 então \lim_{x\to+\infty} a^{x}=0 (decai para zero).
    Aqui temos 0,25 que está entre 0 e 1. Observação útil: 0,25=\tfrac{1}{4}=2^{-2}. Portanto
0,25^{x}=(2^{-2})^{x}=2^{-2x}.
Logo \lim_{x\to+\infty}0,25^{x}=\lim_{x\to+\infty}2^{-2x}=0.

Passo 3

Avaliar limites das partes e inferir o comportamento do quociente.
  • Como vimos, \lim_{x\to+\infty}2^{x}=+\infty, então o numerador 3\cdot 2^{x}\to+\infty.
  • Como vimos, 0,25^{x}\to0, então 5\cdot 0,25^{x}\to0. Portanto o denominador
5\cdot 0,25^{x}-1 \to 0-1 = -1.
Logo o denominador tende para -1, um número finito e negativo.

Passo 4

Conclusão sobre o limite (argumento rigoroso sobre sinal e divergência).
  • Para x suficientemente grande temos 5\cdot 0,25^{x}<\tfrac{1}{2} (pois 5\cdot 0,25^{x}\to0); assim para esses x
5\cdot 0,25^{x}-1 < -\tfrac{1}{2}.
  • Portanto, para x grande,
\frac{3\cdot 2^{x}}{5\cdot 0,25^{x}-1} \le \frac{3\cdot 2^{x}}{-\tfrac{1}{2}} = -6\cdot 2^{x}.
  • Como \lim_{x\to+\infty}2^{x}=+\infty, segue que -6\cdot 2^{x}\to -\infty. Assim a expressão fica sempre menor ou igual a algo que tende a -\infty; isso força o limite a ser -\infty.
  • Em palavras: o numerador cresce sem limite e o denominador tende para o número negativo -1; portanto o quociente cresce em magnitude para o infinito com sinal negativo.

Resposta

-\infty

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