Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular, se existir, o limite quando
da função
- Informação importante: a expressão envolve potências com base maior que
( ) e com base entre e ( ). O objetivo é decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor; se não existir, explicar o porquê.
Passo 2
Entendendo o comportamento das potências (uma mini-aula rápida e prática).
- Regra chave: se
então (cresce exponencialmente).
Aplicando:. - Regra chave: se
então (decai para zero).
Aqui temosque está entre e . Observação útil: . Portanto
Logo
.
Passo 3
Avaliar limites das partes e inferir o comportamento do quociente.
- Como vimos,
, então o numerador . - Como vimos,
, então . Portanto o denominador
Logo o denominador tende para
, um número finito e negativo.
Passo 4
Conclusão sobre o limite (argumento rigoroso sobre sinal e divergência).
- Para
suficientemente grande temos (pois ); assim para esses
- Portanto, para
grande,
- Como
, segue que . Assim a expressão fica sempre menor ou igual a algo que tende a ; isso força o limite a ser . - Em palavras: o numerador cresce sem limite e o denominador tende para o número negativo
; portanto o quociente cresce em magnitude para o infinito com sinal negativo.