Exercício 16. Calcule e, se necessário, simplifique o resultado até obter uma fração irredutível.
\frac{3}{5}: \frac{9}{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divisão entre duas frações e, se necessário, simplificar o resultado até que fique uma fração irredutível. Os dados são:
\displaystyle \frac{3}{5}:\frac{9}{7}.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa expressão e apresentá-lo como fração irredutível.

Passo 2

Regra importante (explicação didática): dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso (recíproco) dessa fração. O recíproco de uma fração \displaystyle \frac{a}{b} é \displaystyle \frac{b}{a}, desde que a\neq0.
Portanto, a operação
\displaystyle \frac{3}{5}:\frac{9}{7}
pode ser reescrita como multiplicação por recíproco.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
\frac{3}{5}:\frac{9}{7}=\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{9}
Aqui a segunda fração \displaystyle \frac{9}{7} virou seu recíproco \displaystyle \frac{7}{9}.

Passo 4

Estratégia para facilitar cálculo: antes de efetuar a multiplicação, simplificamos cruzando fatores comuns entre numeradores e denominadores (isso evita multiplicações grandes e ajuda a obter a fração já reduzida). Escrevendo a multiplicação explícita:
\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{9}=\frac{3\cdot7}{5\cdot9}
Agora procuramos fatores comuns entre \,3,7\, (numeradores) e \,5,9\, (denominadores). Observa-se que 3 e 9 têm fator comum 3.

Passo 5

Fazendo o cancelamento pelo fator 3:
\frac{3\cdot7}{5\cdot9}=\frac{1\cdot7}{5\cdot3}=\frac{7}{15}
Expliquei: dividiu-se 3 (numerador) por 3 passando a 1, e 9 (denominador) por 3 passando a 3.

Passo 6

Verificação de irredutibilidade (o que significa fração irredutível): uma fração está irredutível quando o numerador e o denominador não têm nenhum divisor comum além de 1. Aqui o numerador é 7 (número primo) e o denominador é 15. Como 7 não divide 15 e não tem fatores em comum com 15 (os fatores de 15 são 3 e 5), a fração \displaystyle \frac{7}{15} está irredutível.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{15}

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