Exercício 16. Calcule e, se necessário, simplifique o resultado até obter uma fração irredutível.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a divisão entre duas frações e, se necessário, simplificar o resultado até que fique uma fração irredutível. Os dados são:
.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa expressão e apresentá-lo como fração irredutível.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa expressão e apresentá-lo como fração irredutível.
Passo 2
Regra importante (explicação didática): dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso (recíproco) dessa fração. O recíproco de uma fração
é
, desde que
.
Portanto, a operação
pode ser reescrita como multiplicação por recíproco.
Portanto, a operação
pode ser reescrita como multiplicação por recíproco.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso:
Aqui a segunda fração
virou seu recíproco
.
Passo 4
Estratégia para facilitar cálculo: antes de efetuar a multiplicação, simplificamos cruzando fatores comuns entre numeradores e denominadores (isso evita multiplicações grandes e ajuda a obter a fração já reduzida). Escrevendo a multiplicação explícita:
Agora procuramos fatores comuns entre
(numeradores) e
(denominadores). Observa-se que
e
têm fator comum
.
Passo 5
Fazendo o cancelamento pelo fator
:
Expliquei: dividiu-se
(numerador) por
passando a
, e
(denominador) por
passando a
.
Passo 6
Verificação de irredutibilidade (o que significa fração irredutível): uma fração está irredutível quando o numerador e o denominador não têm nenhum divisor comum além de
. Aqui o numerador é
(número primo) e o denominador é
. Como
não divide
e não tem fatores em comum com
(os fatores de
são
e
), a fração
está irredutível.