Exercício 16: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=2 x e y=4 x-x^2, no intervalo x=0 até x=2, em torno do eixo x.
V=pi integral0^2((4 x-x^2)^2-(2 x)^2) d x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região entre as curvas y=2x e y=4x−x², para x de 0 a 2. O conteúdo usado é o método dos anéis (ou cascas), em que aplicamos
V=piintegrala^bl(raio externo^2-raio interno^2r)dx

Passo 2

Identificamos que o raio externo é f(x)=4x−x² (a curva de cima) e o raio interno é g(x)=2x. Portanto a integral fica
V=piintegral0^2l((4x-x^2)^2-(2x)^2r)dx

Passo 3

Para simplificar o cálculo, expandimos o integrando:
(4x-x^2)^2=x^4-8x^3+16x^2,
(2x)^2=4x^2
Logo o integrando é
x^4-8x^3+16x^2-4x^2=x^4-8x^3+12x^2

Passo 4

Agora integramos termo a termo em [0,2]:
$$\int_02(x4-8x3+12x2)dx=\Bigl[\frac{x5}{5}-2x4+4x3\Bigr]_02
=\Bigl(\frac{32}{5}-32+32\Bigr)=\frac{32}{5}.$$

Passo 5

Finalmente, multiplicamos por π:
V=picdot325=32pi5

Resposta

32pi5

Exercícios relacionados