Exercício 16: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
, no intervalo
até
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região entre as curvas y=2x e y=4x−x², para x de 0 a 2. O conteúdo usado é o método dos anéis (ou cascas), em que aplicamos
Passo 2
Identificamos que o raio externo é f(x)=4x−x² (a curva de cima) e o raio interno é g(x)=2x. Portanto a integral fica
Passo 3
Para simplificar o cálculo, expandimos o integrando:
Logo o integrando é
Passo 4
Agora integramos termo a termo em [0,2]:
$$\int_02(x4-8x3+12x2)dx=\Bigl[\frac{x5}{5}-2x4+4x3\Bigr]_02
=\Bigl(\frac{32}{5}-32+32\Bigr)=\frac{32}{5}.$$
Passo 5
Finalmente, multiplicamos por π: