Exercício 18: Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^3, y=0, x=0 até x=1, em torno do eixo x=3.
V=pi integral0^1((3-x^3)^2) d x

Passo 1

A gente quer achar o volume da região limitada por y = x^3, y = 0, x = 0 e x = 1, rotacionada em torno da reta x = 3. A teoria envolvida é cálculo de volumes de revolução, que leva à integral
V = pi integral0^1 l(3 - x^3r)^2,dx
Precisamos expandir o integrando e usar as regras de potências para integrar.

Passo 2

Expandindo o quadrado no integrando:
l(3 - x^3r)^2 = 3^2 - 2 cdot 3 cdot x^3 + l(x^3r)^2 = 9 - 6x^3 + x^6

Passo 3

Integrando termo a termo de 9 - 6x^3 + x^6:
integral (9 - 6x^3 + x^6),dx = 9x - 6x^44 + x^77 = 9x - 32x^4 + x^77

Passo 4

Avaliando de 0 a 1:
integral0^1 (9 - 6x^3 + x^6),dx = l[9x - tfrac32x^4 + tfracx^77r]0^1 = 10714

Resposta

V = 107pi14

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