Exercício 7: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas x=y^2, x=0, y=0 e y=2 em torno do eixo y.
V=pi integral0^2(y^2)^2 d y

Passo 1

O exercício pede o volume gerado pela rotação da região limitada por x=y^2, x=0, y=0 e y=2 em torno do eixo y. Aqui usamos o método dos discos (ou fatias): cada seção transversal em y é um círculo de raio dado por x=y^2.

Passo 2

O raio do disco em cada y é R(y)=y^2, logo a área do disco é V=integraly=0^y=2A(y),dy=piintegral0^2y^4,dy . Assim o volume é dado por

Passo 3

Calculamos a integral de y^4:
integral0^2y^4,dy=[y^55]0^2=2^55=325

Passo 4

Substituindo no volume,
V=pitimes325=32pi5

Resposta

32pi5

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