Exercício 12: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x, no intervalo x=0 até x=1, em torno do eixo x.
V=pi integral0^1((x)^2-(x^2)^2) d x

Passo 1

Temos a região limitada pelas curvas y = x^2 e y = x no intervalo 0 <= x <= 1, girando em torno do eixo x. O conteúdo é volume de revolução pelo método das arruelas, e vamos usar a fórmula:
V = pi integrala^b l(R(x)^2 - r(x)^2r),dx

Passo 2

Para cada x, a distância até a curva superior y = x é o raio externo R(x) = x, e até a curva inferior y = x^2 é o raio interno r(x) = x^2.

Passo 3

Substituindo R(x) e r(x) na fórmula, o volume fica:
V = pi integral0^1 l(R(x)^2 - r(x)^2r),dx = pi integral0^1 l(x^2 - (x^2)^2r),dx = pi integral0^1 (x^2 - x^4),dx

Passo 4

Calcular a integral integral0^1 (x^2 - x^4),dx separando: integral0^1 x^2,dx = tfrac13 e integral0^1 x^4,dx = tfrac15. Assim, integral0^1 (x^2 - x^4),dx = tfrac13 - tfrac15 = tfrac215

Resposta

tfrac2pi15

Exercícios relacionados