Exercício 16. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores V=(l1 1 1), W=(c1 3 -2) e U=(c-1 0 2).

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
V = 111, W = 13-2, U = -102
O conteúdo aqui é produto misto de vetores em R^3, e vamos precisar calcular o determinante de uma matriz 3times 3 para obter esse produto misto.

Passo 2

Organizamos os vetores como linhas de uma matriz M. Sabendo que o volume é o valor absoluto do determinante, temos
M = 1 & 1 & 1 1 & 3 & -2 -1 & 0 & 2 ,
Volume = l|det Mr|

Passo 3

Vamos expandir det M pela primeira linha:
det M = 1cdotdet3 & -20 & 2 -1cdotdet1 & -2-1 & 2 +1cdotdet1 & 3-1 & 0

Passo 4

Calculando cada menor:
det3 & -20 & 2 = 3cdot2 - (-2)cdot0 = 6,
det1 & -2-1 & 2 = 1cdot2 - (-2)cdot(-1) = 2 - 2 = 0,
det1 & 3-1 & 0 = 1cdot0 - 3cdot(-1) = 3
Somando os cofatores:
det M = 1cdot6 - 1cdot0 + 1cdot3 = 9

Passo 5

Como o volume é o valor absoluto do determinante, temos
Volume = |9| = 9

Resposta

O volume do paralelepípedo é 9.

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