Exercício 16. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo- x, da região limitada por:
c) y=x^{2} e x^{2}+y^{2}=2

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo- x, a região limitada pelas curvas \;y=x^{2}\; e \;x^{2}+y^{2}=2\;.
Informações relevantes dadas:
  • As curvas são \;y=x^{2}\; (parábola) e \;x^{2}+y^{2}=2\; (circunferência de raio \sqrt{2} centrada na origem).
  • A rotação é feita em torno do eixo- x.
  • Precisamos encontrar a região limitada por essas duas curvas (ou seja, os pontos de intersecção) e, a partir disso, calcular o volume do sólido de revolução gerado.

Passo 2

Encontrar os pontos de intersecção das curvas: substituir \;y=x^{2}\; em \;x^{2}+y^{2}=2\;.
x^{2}+(x^{2})^{2}=2
Defina \;u=x^{2}\;. Então a equação vira
u^{2}+u-2=0.
Resolver a quadrática em u:
u=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}.
Portanto \;u=1\; ou \;u=-2\;. Como \;u=x^{2}\ge0\;, descartamos \;u=-2\; e ficamos com \;x^{2}=1\;, logo
x=\pm 1.
Os pontos de intersecção são \;x=-1\; e \;x=1\;. Em ambos \;y=x^{2}=1\;. Assim a região limitada está entre \;x=-1\; e \;x=1\;.

Passo 3

Precisamos saber qual curva fornece o raio externo (maior y) e qual fornece o raio interno (menor y) para montar o método dos discos/anes (washers). As funções relevantes no intervalo [-1,1] são:
  • curva da circunferência (ramo superior): \;y=\sqrt{2-x^{2}}\; (a raiz positiva, já que consideramos a parte acima do eixo x);
  • parábola: \;y=x^{2}\;.
Mostrar que a circunferência superior está acima da parábola para -1\le x\le 1: queremos verificar \;\sqrt{2-x^{2}}\ge x^{2}\;. Como \sqrt{2-x^{2}}\ge0, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido:
2-x^{2}\ge x^{4}
que é
x^{4}+x^{2}-2\le0.
Factorizando (já feita antes): (x^{2}-1)(x^{2}+2)\le0. Como (x^{2}+2)>0 sempre, a desigualdade vale quando x^{2}-1\le0, ou seja |x|\le1. Logo, para -1\le x\le1 temos \sqrt{2-x^{2}}\ge x^{2}. Assim a circunferência é a borda externa e a parábola é a borda interna no sólido de revolução.

Passo 4

Apresentar a fórmula que vamos usar (muito importante entender bem): para rotação em torno do eixo- x da região entre duas curvas y=R(x) (externa) e y=r(x) (interna), o volume é dado pelo método dos anéis (washers):
V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)\,dx.
Aqui:
  • R(x) é a distância do eixo- x até a curva superior (raio externo),
  • r(x) é a distância do eixo- x até a curva inferior (raio interno),
  • [a,b] é o intervalo de x onde a região está definida (aqui [ -1,1]).
No nosso caso:
R(x)=\sqrt{2-x^{2}},\qquad r(x)=x^{2},\qquad a=-1,\quad b=1.

Passo 5

Montar e simplificar o integrando:
R(x)^{2}-r(x)^{2}=(\sqrt{2-x^{2}})^{2}-(x^{2})^{2}=2-x^{2}-x^{4}.
Portanto o volume é
V=\pi\int_{-1}^{1}\bigl(2-x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 6

Aproveitar simetria para simplificar o cálculo: a função f(x)=2-x^{2}-x^{4} é par (isto é, f(-x)=f(x)), então
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=2\int_{0}^{1}f(x)\,dx.
Assim
V=2\pi\int_{0}^{1}\bigl(2-x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx.
Calcular a integral termo a termo. Antiderivadas:
\int 2\,dx=2x,\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}.
Logo uma primitiva de 2-x^{2}-x^{4} é
F(x)=2x-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}.
Avaliar de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(2-x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx=F(1)-F(0)=\left(2-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)-0.
Calcular os termos:
2-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=2-\frac{5+3}{15}=2-\frac{8}{15}=\frac{30-8}{15}=\frac{22}{15}.
Portanto
V=2\pi\cdot\frac{22}{15}=\frac{44\pi}{15}.

Passo 7

Cheque rápido de consistência (só para ganhar confiança): o valor é positivo e tem a ordem de grandeza esperada (aproximando \pi\approx3{,}14, \frac{44\pi}{15}\approx \frac{44\cdot3{,}14}{15}\approx9{,}2 unidades cúbicas), o que parece razoável para um sólido com extensão em x de 2 unidades e alturas da ordem de 1.

Resposta

\displaystyle \frac{44\pi}{15}

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