Exercício 16. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-
, da região limitada por:
c)
e
c)
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo-
, a região limitada pelas curvas
e
.
Informações relevantes dadas:
- As curvas são
(parábola) e (circunferência de raio centrada na origem). - A rotação é feita em torno do eixo-
. - Precisamos encontrar a região limitada por essas duas curvas (ou seja, os pontos de intersecção) e, a partir disso, calcular o volume do sólido de revolução gerado.
Passo 2
Encontrar os pontos de intersecção das curvas: substituir
em
.
Defina
. Então a equação vira
Resolver a quadrática em
:
Portanto
ou
. Como
, descartamos
e ficamos com
, logo
Os pontos de intersecção são
e
. Em ambos
. Assim a região limitada está entre
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva fornece o raio externo (maior
) e qual fornece o raio interno (menor
) para montar o método dos discos/anes (washers). As funções relevantes no intervalo
são:
- curva da circunferência (ramo superior):
(a raiz positiva, já que consideramos a parte acima do eixo ); - parábola:
.
Mostrar que a circunferência superior está acima da parábola para
: queremos verificar
. Como
, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido:
que é
Factorizando (já feita antes):
. Como
sempre, a desigualdade vale quando
, ou seja
. Logo, para
temos
. Assim a circunferência é a borda externa e a parábola é a borda interna no sólido de revolução.
Passo 4
Apresentar a fórmula que vamos usar (muito importante entender bem): para rotação em torno do eixo-
da região entre duas curvas
(externa) e
(interna), o volume é dado pelo método dos anéis (washers):
Aqui:
-
é a distância do eixo- até a curva superior (raio externo), -
é a distância do eixo- até a curva inferior (raio interno), -
é o intervalo de onde a região está definida (aqui ).
No nosso caso:
Passo 5
Montar e simplificar o integrando:
Portanto o volume é
Passo 6
Aproveitar simetria para simplificar o cálculo: a função
é par (isto é,
), então
Assim
Calcular a integral termo a termo. Antiderivadas:
Logo uma primitiva de
é
Avaliar de
a
:
Calcular os termos:
Portanto
Passo 7
Cheque rápido de consistência (só para ganhar confiança): o valor é positivo e tem a ordem de grandeza esperada (aproximando
,
unidades cúbicas), o que parece razoável para um sólido com extensão em
de
unidades e alturas da ordem de
.