Exercício 17. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-y, da região limitada por:
a)
e
a)
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo-
a região limitada por
e
, com a condição
.
Informações dadas:
- As curvas são
e . - Consideramos apenas
. - O eixo de rotação é o eixo-
.
O que precisa ser encontrado:
- O volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar os pontos de interseção das curvas, pois eles definem os limites da região em
.
As interseções ocorrem quando
Reescrevendo,
Como estamos em
, os pontos relevantes são
e
. Portanto a região está entre
e
.
Passo 3
Escolha do método: como giramos em torno do eixo-
e as curvas estão dadas como
, o método das cascas cilíndricas (método das casquinhas) é muito natural e direto. Vou explicar esse método com calma antes de aplicar.
Passo 4
Aula rápida sobre o método das cascas cilíndricas:
- Imagine uma pequena faixa vertical da região, em
até . Ao girar essa faixa em torno do eixo- ela gera uma casca cilíndrica fino. - Para essa casca:
- o raio (distância do eixo-
até a casca) é , - a altura da casca é a diferença entre as curvas, isto é
(parte superior) (parte inferior). - a espessura é
.
- o raio (distância do eixo-
- A área lateral aproximada da casca é
. - O volume aproximado da casca é essa área lateral vezes a espessura:
. - Para obter o volume total, integremos para
entre os limites da região:
Aqui cada termo significa:
-
: raio da casca (distância do eixo de rotação à faixa vertical), -
: altura da casca (diferença vertical entre as curvas), -
: limites em .
Passo 5
Identificamos as quantidades para o nosso caso:
- Raio:
(distância do eixo- até a abscissa ). - Altura: a curva superior é
e a inferior é no intervalo , então
- Limites:
, .
Portanto o volume é
Passo 6
Simplificamos o integrando antes de integrar:
Assim
Agora calculamos primitivas termo a termo:
- Uma primitiva de
é . - Uma primitiva de
é .
Logo a primitiva de
é
Passo 7
Aplicamos os limites
e
:
Calculamos a diferença:
Portanto
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: o valor é positivo e tem a unidade de volume (multiplicado por
), a forma da integral e os limites fazem sentido pelo intervalo onde
para
. Tudo consistente.