Exercício 17. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-y, da região limitada por:
a) y=x e y=x^{3}, x>0

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo- y a região limitada por y=x e y=x^{3}, com a condição x>0.
Informações dadas:
  • As curvas são y=x e y=x^{3}.
  • Consideramos apenas x>0.
  • O eixo de rotação é o eixo- y.
O que precisa ser encontrado:
  • O volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os pontos de interseção das curvas, pois eles definem os limites da região em x.
As interseções ocorrem quando
x = x^{3}.
Reescrevendo,
x^{3}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^{2}-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-1)(x+1)=0.
Como estamos em x>0, os pontos relevantes são x=0 e x=1. Portanto a região está entre x=0 e x=1.

Passo 3

Escolha do método: como giramos em torno do eixo- y e as curvas estão dadas como y=f(x), o método das cascas cilíndricas (método das casquinhas) é muito natural e direto. Vou explicar esse método com calma antes de aplicar.

Passo 4

Aula rápida sobre o método das cascas cilíndricas:
  • Imagine uma pequena faixa vertical da região, em x até x+dx. Ao girar essa faixa em torno do eixo- y ela gera uma casca cilíndrica fino.
  • Para essa casca:
    • o raio (distância do eixo- y até a casca) é r=x,
    • a altura da casca é a diferença entre as curvas, isto é h(x)= (parte superior) - (parte inferior).
    • a espessura é dx.
  • A área lateral aproximada da casca é 2\pi r \cdot h(x).
  • O volume aproximado da casca é essa área lateral vezes a espessura: dV \approx 2\pi r\,h(x)\,dx.
  • Para obter o volume total, integremos para x entre os limites da região:
V = 2\pi \int_{a}^{b} r(x)\,h(x)\,dx.
Aqui cada termo significa:
  • r(x): raio da casca (distância do eixo de rotação à faixa vertical),
  • h(x): altura da casca (diferença vertical entre as curvas),
  • a,b: limites em x.

Passo 5

Identificamos as quantidades para o nosso caso:
  • Raio: r(x)=x (distância do eixo- y até a abscissa x).
  • Altura: a curva superior é y=x e a inferior é y=x^{3} no intervalo [0,1], então
h(x)=x - x^{3}.
  • Limites: a=0, b=1.
Portanto o volume é
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl(x - x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 6

Simplificamos o integrando antes de integrar:
x\bigl(x - x^{3}\bigr)=x^{2}-x^{4}.
Assim
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx.
Agora calculamos primitivas termo a termo:
  • Uma primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}.
  • Uma primitiva de x^{4} é \dfrac{x^{5}}{5}.
Logo a primitiva de x^{2}-x^{4} é
\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}.

Passo 7

Aplicamos os limites 0 e 1:
V = 2\pi \left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = 2\pi\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{5}}{5} - 0\right).
Calculamos a diferença:
\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}.
Portanto
V = 2\pi\cdot\frac{2}{15}=\frac{4\pi}{15}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o valor é positivo e tem a unidade de volume (multiplicado por \pi), a forma da integral e os limites fazem sentido pelo intervalo onde x>x^{3} para 0<x<1. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{4\pi}{15}

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