Exercício 16 Considere as funções f, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dadas por f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & \text { para } x \neq 2 \\\\ 4, & \text { para } x=2\end{array} \quad e\right. h(y)=\left\{\begin{array}{rcc}0, & \text { para } & y \geq 6 \\\ \frac{y^{2}}{18}, & \text { para } & y<6\end{array}\right.. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas.
\lim _{x \rightarrow 6} f[f(y)]=f\left[\lim _{x \rightarrow 6} h(y)\right]

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) e pede para verificar se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa (com justificativa): \[\lim_{y\to 6} f\bigl(h(y)\bigr)=f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right).
As informações fornecidas são:
f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2},&x\neq 2,\\[6pt]4,&x=2,\end{cases} \qquad h(y)=\begin{cases}0,&y\ge 6,\\[4pt]\dfrac{y^{2}}{18},&y<6.\end{cases}
Observações importantes retiradas do enunciado:
  • A composição que aparece no enunciado é f(h(y))\]. - O limite que precisamos analisar é quando \(y\to 6.
    - Temos que decidir se a igualdade entre o limite da composição e a composição do limite é válida.]

Passo 2

Primeiro vamos simplificar f(x) para entender melhor a função e ver se ela é contínua. Para x\neq 2 calculemos:
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad\text{(para \(x\neq 2\)).}
Portanto, para x\neq 2 temos f(x)=x+2. Pelo enunciado f(2)=4. Note que 2+2=4, ou seja, o valor dado em x=2 coincide com a continuação x+2. Concluímos que, de fato,
f(x)=x+2\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicação didática: quando uma expressão algébrica tem um fator comum no numerador e denominador que se anula num ponto (aqui x-2), podemos cancelar esse fator para x\neq 2. Se o valor definido no ponto remove a descontinuidade (aqui f(2)=4 coincide com o limite 2+2), então a função é contínua naquele ponto. Assim f é a função afim x\mapsto x+2, contínua em toda a reta.

Passo 3

Vamos agora estudar o comportamento de h(y) quando y\to 6. Como h é dada por trechos, calculamos os limites laterais:
  • Para y\to 6^{-} (pela esquerda) usamos h(y)=\dfrac{y^{2}}{18}. Então
\lim_{y\to 6^{-}} h(y)=\lim_{y\to 6^{-}}\frac{y^{2}}{18}=\frac{6^{2}}{18}=\frac{36}{18}=2.
  • Para y\to 6^{+} (pela direita) usamos h(y)=0 (pois para y\ge 6 h(y)=0). Então
\lim_{y\to 6^{+}} h(y)=0.
Como os limites laterais são diferentes ( 2 pela esquerda e 0 pela direita), o limite \lim_{y\to 6} h(y) não existe.
Explicação didática: o limite existirá só se os dois limites laterais coincidirem. Aqui eles são diferentes, logo não existe limite em y=6.

Passo 4

Agora calculemos \lim_{y\to 6} f\bigl(h(y)\bigr). Como já vimos f(x)=x+2 para todo x, temos
f\bigl(h(y)\bigr)=h(y)+2.
Logo podemos estudar os limites laterais de f(h(y)):
  • Para y\to 6^{-},
\lim_{y\to 6^{-}} f(h(y))=\lim_{y\to 6^{-}} \bigl(h(y)+2\bigr)=\lim_{y\to 6^{-}} h(y)+2=2+2=4.
  • Para y\to 6^{+},
\lim_{y\to 6^{+}} f(h(y))=\lim_{y\to 6^{+}} \bigl(h(y)+2\bigr)=\lim_{y\to 6^{+}} h(y)+2=0+2=2.
Como os limites laterais de f(h(y)) também são diferentes ( 4 e 2), o limite \lim_{y\to 6} f(h(y)) não existe.
Breve comentário didático: se \lim_{y\to 6} h(y) existisse e fosse igual a L, como f é contínua em L (pois f é contínua em toda \mathbb{R}), teríamos a propriedade padrão
\lim_{y\to 6} f(h(y)) = f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right).
Mas aqui o problema é justamente que \lim_{y\to 6} h(y) não existe, então não podemos aplicar essa propriedade.

Passo 5

Examinemos o membro direito da igualdade proposta:
f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right).
Como mostrado no Passo 3, \lim_{y\to 6} h(y) não existe; portanto a expressão f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right) não está definida (não faz sentido aplicar f a algo que não existe). Assim o membro direito não existe como número real.

Passo 6

Conclusão lógica: o membro esquerdo \lim_{y\to 6} f(h(y)) não existe (Passo 4) e o membro direito f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right) também não existe (Passo 5). Como a igualdade entre dois limites numéricos exige que ambos existam e sejam iguais, a afirmação
\lim_{y\to 6} f(h(y)) = f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right)
é falsa no sentido de que não se pode afirmar essa igualdade (não há igualdade entre números bem definidos). Em termos simples: não existe o limite interno \lim_{y\to 6} h(y), então não faz sentido substituir dentro de f; e o limite da composição também não existe.

Resposta

Falsa.

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