Exercício 16 Considere as funções f, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dadas por f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & \text { para } x \neq 2 \\\\ 4, & \text { para } x=2\end{array} \quad e\right. h(y)=\left\{\begin{array}{rcc}0, & \text { para } & y \geq 6 \\\ \frac{y^{2}}{18}, & \text { para } & y<6\end{array}\right.. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas. \lim _{x \rightarrow 6} f[f(y)]=f\left[\lim _{x \rightarrow 6} h(y)\right]
Passo 1
O enunciado dá duas funções f,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) e pede para verificar se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa (com justificativa):
\[\lim_{y\to 6} f\bigl(h(y)\bigr)=f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right).
A composição que aparece no enunciado é f(h(y))\].
- O limite que precisamos analisar é quando \(y\to 6.
- Temos que decidir se a igualdade entre o limite da composição e a composição do limite é válida.]
Passo 2
Primeiro vamos simplificar f(x) para entender melhor a função e ver se ela é contínua. Para x\neq 2 calculemos:
Portanto, para x\neq 2 temos f(x)=x+2. Pelo enunciado f(2)=4. Note que 2+2=4, ou seja, o valor dado em x=2 coincide com a continuação x+2. Concluímos que, de fato,
f(x)=x+2\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicação didática: quando uma expressão algébrica tem um fator comum no numerador e denominador que se anula num ponto (aqui x-2), podemos cancelar esse fator para x\neq 2. Se o valor definido no ponto remove a descontinuidade (aqui f(2)=4 coincide com o limite 2+2), então a função é contínua naquele ponto. Assim f é a função afim x\mapsto x+2, contínua em toda a reta.
Passo 3
Vamos agora estudar o comportamento de h(y) quando y\to 6. Como h é dada por trechos, calculamos os limites laterais:
Para y\to 6^{-} (pela esquerda) usamos h(y)=\dfrac{y^{2}}{18}. Então
Como os limites laterais de f(h(y)) também são diferentes (4 e 2), o limite \lim_{y\to 6} f(h(y)) não existe.
Breve comentário didático: se \lim_{y\to 6} h(y) existisse e fosse igual a L, como f é contínua em L (pois f é contínua em toda \mathbb{R}), teríamos a propriedade padrão
Mas aqui o problema é justamente que \lim_{y\to 6} h(y) não existe, então não podemos aplicar essa propriedade.
Passo 5
Examinemos o membro direito da igualdade proposta:
f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right).
Como mostrado no Passo 3, \lim_{y\to 6} h(y) não existe; portanto a expressão f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right) não está definida (não faz sentido aplicar f a algo que não existe). Assim o membro direito não existe como número real.
Passo 6
Conclusão lógica: o membro esquerdo \lim_{y\to 6} f(h(y)) não existe (Passo 4) e o membro direito f\!\left(\lim_{y\to 6} h(y)\right) também não existe (Passo 5). Como a igualdade entre dois limites numéricos exige que ambos existam e sejam iguais, a afirmação
é falsa no sentido de que não se pode afirmar essa igualdade (não há igualdade entre números bem definidos). Em termos simples: não existe o limite interno \lim_{y\to 6} h(y), então não faz sentido substituir dentro de f; e o limite da composição também não existe.