Exercício 18 Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^{\prime}. y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{3}+y^{\prime}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y'' = (y')^3 + y'
e pede que a resolvamos fazendo a substituição \;v = y'\;.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
É uma equação de segunda ordem em y(x).
Devemos usar a substituição \;v = y'\;, logo v é função de x e y''=v'.
O objetivo é encontrar y(x) (a família geral de soluções), possivelmente com constantes de integração.
Passo 2
Faço a substituição pedida: seja \;v(x)=y'(x)\;. Então
y'' = v' = \frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original obtemos a equação para v:
\frac{dv}{dx} = v^3 + v.
Esta é uma equação de primeira ordem para v(x). Nota: aqui não resolvemos ainda, só transformamos a equação original em uma de ordem menor.
Passo 3
Reescrevo a equação para separar variáveis (separável):
\frac{dv}{dx} = v(v^2+1).
Se v não for identicamente zero, podemos separar:
\frac{1}{v(v^2+1)}\,dv = dx.
Explicação didática: “separar variáveis” significa colocar todos os termos em v do lado de dv e todos os termos em x do lado de dx, para poder integrar ambos os lados. Aqui isso é possível porque o lado direito depende só de v.
Passo 4
Agora preciso integrar o lado esquerdo. Para isso uso frações parciais: quero escrever
\int \frac{v}{v^2+1}\,dv: faço a substituição interna w = v^2+1, dw = 2v\,dv, então \int \frac{v}{v^2+1}\,dv = \tfrac{1}{2}\ln(v^2+1).
Portanto
\ln|v| - \tfrac{1}{2}\ln(v^2+1) = x + C,
onde C é constante de integração. Esta é a integral geral para v.
Passo 6
Simplifico a expressão logarítmica: juntando os logaritmos,
\ln\!\left(\frac{|v|}{\sqrt{v^2+1}}\right) = x + C.
Exponenciando ambos os lados obtemos
\frac{|v|}{\sqrt{v^2+1}} = C_1 e^{x},
onde C_1 = e^{C}>0. Podemos absorver o sinal de v na constante e escrever de forma mais geral
\frac{v}{\sqrt{v^2+1}} = K e^{x},
onde K é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero). Observação importante: nessa dedução assumimos v não identicamente nulo; trataremos v\equiv 0 separadamente.
Passo 7
Agora resolvo esta equação para v. Coloco s(x)=K e^{x}. Então
Podemos escolher o sinal absorvendo-o em K, então escrevo de forma prática
y' = \frac{K e^{x}}{\sqrt{1-K^2 e^{2x}}}.
Observação sobre domínio: para que a raiz faça sentido real precisamos 1-K^2 e^{2x}>0, ou seja |K e^{x}|<1. Essa condição aparece naturalmente da integração.
Passo 8
Integro agora para obter y(x). Faço a substituição u = K e^{x}. Então du = K e^{x} dx = u\,dx, o que implica dx = \frac{du}{u}. Substituo em y' = \dfrac{u}{\sqrt{1-u^2}} (já que o numerador K e^{x}=u):
dy = y'\,dx = \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{du}{u} = \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}.
A integral fica simples:
y = \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \arcsin(u) + C_2.
Voltando à variável x, u = K e^{x}, logo
y(x) = \arcsin\!\big(K e^{x}\big) + C_2.
Podemos também admitir a possibilidade do sinal negativo anterior, o que corresponde a trocar K por -K ou subtrair a função, então a forma geral pode ser escrita com \pm ou absorvida na constante K.
Passo 9
Não esquecer o caso especial que excluímos ao dividir: v\equiv 0 (isto é, y' \equiv 0) também é solução. Se v=0 então y é constante, e de fato verifica a equação porque y''=0 e (y')^3+y' = 0.
Resposta
y(x)=\arcsin\!\big(K e^{x}\big)+C, com constantes K,C\in\mathbb{R} e condição de domínio |K e^{x}|\le 1.\n
A solução constante y(x)=C (obtida com K=0) também faz parte da família.