Exercício 16. (D.K. ex. 3.1 e 3.2) Considere a distribuição u in D^prime(R) definida abaixo:
u(phi)=d^k phid x^k(0)
a) Mostre que a ordem de u é menor ou igual a k in N0.
b) Prove que a distribuição acima é de ordem exatamente igual a k in N0.
(Dica: Seja psi in Cc^infty(R) tal que psi(0)=1. Definimos phide<a(x)=x^k psi(xde<a). Suponha que a ordem de u seja menor do que k. Use as funções phide<a para obter uma contradição. O argumento completo pode ser encontrado no exemplo 2.1.2 do livro do Hörmander)

Passo 1

O enunciado define a distribuição uinD'(R) por
u(phi)=d^kphidx^k(0),
queremos mostrar que a ordem de u é <= k (parte a) e depois provar que não pode ser menor que k (parte b), usando a definição de ordem de uma distribuição e a família de funções teste phide<a(x)=x^k,psi(x/de<a).

Passo 2

Lembramos que é de ordem se existe compacto e constante tais que para toda com valha

Passo 3

Para qualquer temos
Escolhendo grande o suficiente para conter , concluímos que podemos tomar e , logo a ordem de é .

Passo 4

Agora suponha, por contradição, que a ordem de seja . Então existem compacto e tais que
para toda com .

Passo 5

Escolhemos com e definimos, para ,
Então para pequeno, onde controla o suporte de .

Passo 6

Para cada e todo , ao derivar temos fatores vindos de , mas também fatores que dão um extra ao avaliar o supremo em . Assim existe constante tal que
Como varia até , o máximo também fica .

Passo 7

Por outro lado,
u(phide<a)=phide<a^(k)(0)
Ao derivar k vezes x^kpsi(x/de<a), o único termo que sobrevive em x=0 é k!,psi(0)=k!. Logo
u(phide<a)=k!

Passo 8

A estimativa da suposição daria
k!=l|u(phide<a)r|<= C;max0<=ell<= k-1supxin Kl|phide<a^(ell)(x)r|<= C,(C',de<a)
para alguma constante C'. Isso implica k!<= C,C',de<a, mas como de<ato0 o lado direito vai a zero, impossível. Contradição.

Passo 9

Portanto não podemos ter ordem <= k-1, e a ordem de u é exatamente k.

Resposta

a) A ordem de u é <= k.
b) A ordem de u não pode ser menor que k, logo é exatamente k.

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