Exercício 16. (D.K. ex. 3.1 e 3.2) Considere a distribuição definida abaixo:
a) Mostre que a ordem de é menor ou igual a .
b) Prove que a distribuição acima é de ordem exatamente igual a .
(Dica: Seja tal que . Definimos . Suponha que a ordem de seja menor do que . Use as funções para obter uma contradição. O argumento completo pode ser encontrado no exemplo 2.1.2 do livro do Hörmander)
Passo 1
O enunciado define a distribuição por
queremos mostrar que a ordem de é (parte a) e depois provar que não pode ser menor que (parte b), usando a definição de ordem de uma distribuição e a família de funções teste .
Passo 2
Lembramos que é de ordem se existe compacto e constante tais que para toda com valha
Passo 3
Para qualquer temos
Escolhendo grande o suficiente para conter , concluímos que podemos tomar e , logo a ordem de é .
Passo 4
Agora suponha, por contradição, que a ordem de seja . Então existem compacto e tais que
para toda com .
Passo 5
Escolhemos com e definimos, para ,
Então para pequeno, onde controla o suporte de .
Passo 6
Para cada e todo , ao derivar temos fatores vindos de , mas também fatores que dão um extra ao avaliar o supremo em . Assim existe constante tal que
Como varia até , o máximo também fica .
Passo 7
Por outro lado,
u(phide<a)=phide<a^(k)(0)
Ao derivar k vezes x^kpsi(x/de<a), o único termo que sobrevive em x=0 é k!,psi(0)=k!. Logo