Verifique quais das seguintes aplicações são lineares:
T: P3(R) M2(R) definida por T(a x^3+b x^2+c x+d)=(cca+b & b -c & 2 c+d).

Passo 1

Temos o espaço vetorial P3(R) de polinômios de grau <= 3 e o espaço M2(R) de matrizes 2 times 2. A aplicação
Tcolon P3(R) to M2(R), Tl(a x^3+b x^2+c x+dr) =a+b & b [6pt] -c & 2c+d
deve ser testada para linearidade. Lembrando que T é linear se, para quaisquer polinômios p1,p2 e escalares alpha,beta, vale
Tl(alpha p1+beta p2r) =alpha,T(p1)+beta,T(p2) ]

Passo 2

Sejam
p1(x)=a1x^3+b1x^2+c1x+d1, p2(x)=a2x^3+b2x^2+c2x+d2
Então
alpha p1+beta p2 =(alpha a1+beta a2)x^3 +(alpha b1+beta b2)x^2 +(alpha c1+beta c2)x +(alpha d1+beta d2)
Aplicando T a essa combinação, obtemos
Tl(alpha p1+beta p2r) = (alpha a1+beta a2)+(alpha b1+beta b2) &;alpha b1+beta b2[6pt] -(alpha c1+beta c2) &;2(alpha c1+beta c2)+(alpha d1+beta d2) ]

Passo 3

Agora simplificamos cada entrada separando alpha e beta:
  • Entrada (1,1):
    (alpha a1+beta a2)+(alpha b1+beta b2) =alpha(a1+b1)+beta(a2+b2).
  • Entrada (1,2):
    alpha b1+beta b2.
  • Entrada (2,1):
    -alpha c1-beta c2=alpha(-c1)+beta(-c2).
  • Entrada (2,2):
    2(alpha c1+beta c2)+(alpha d1+beta d2) =alpha(2c1+d1)+beta(2c2+d2).
Agrupando em matriz,
T(alpha p1+beta p2) =alpha a1+b1&b1-c1&2c1+d1 +beta a2+b2&b2-c2&2c2+d2 =alpha,T(p1)+beta,T(p2)

Resposta

A aplicação T é linear.

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