Exercício 16 (D.L.4.2)
Seja
um campo de classe
, em que
é um aberto. Dado
, denotamos por
o intervalo máximo da solução da EDO
Mostre que se
e
são tais que
, então
.
Seja
Passo 1
O enunciado trata do fluxo
gerado pela EDO
onde
é de classe
em aberto
. Para cada condição inicial
existe um intervalo máximo de definição
no qual a solução
está definida. Queremos mostrar: se
, então
.
Passo 2
Defina a função
para todo
tal que
. Como
satisfaz a EDO, temos
Além disso, claramente
Logo,
é solução do mesmo problema de valor inicial
Passo 3
Por definição de
como intervalo máximo de existência da solução com condição inicial
, todo
para o qual exibimos uma solução deve pertencer a esse intervalo máximo. Mas o domínio de
é exatamente
Em particular, se
, então
pertence ao domínio de
e, portanto,