Exercício 16 (D.L.4.2)
Seja f: E R^n um campo de classe C^1, em que E subset R^n é um aberto. Dado y in E, denotamos por I(y) o intervalo máximo da solução da EDO
c x^prime=f(x) x(0)=y
Mostre que se s, t in R e x in R são tais que s, s+t in I(x), então t in I(phi(s, x)).

Passo 1

O enunciado trata do fluxo phi(t,y) gerado pela EDO
x' = f(x), x(0)=y,
onde fcolon EtoR^n é de classe C^1 em aberto EsubsetR^n. Para cada condição inicial yin E existe um intervalo máximo de definição I(y)subsetR no qual a solução phi(cdot,y) está definida. Queremos mostrar: se s,s+tin I(x), então tin Il(phi(s,x)r).

Passo 2

Defina a função
psi(tau) ;=;phi(s+tau,,x),
para todo tau tal que s+tauin I(x). Como phi(cdot,x) satisfaz a EDO, temos
ddtaupsi(tau) =ddtauphi(s+tau,x) =fl(phi(s+tau,x)r) =fl(psi(tau)r)
Além disso, claramente
psi(0)=phi(s,x)
Logo, psi(tau) é solução do mesmo problema de valor inicial
x' = f(x), x(0)=phi(s,x)

Passo 3

Por definição de Il(phi(s,x)r) como intervalo máximo de existência da solução com condição inicial phi(s,x), todo tau para o qual exibimos uma solução deve pertencer a esse intervalo máximo. Mas o domínio de psi é exatamente
tauinRmid s+tauin I(x)
Em particular, se s+tin I(x), então t pertence ao domínio de psi e, portanto,
tin Il(phi(s,x)r)

Resposta

tin Il(phi(s,x)r).

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