Resolva os problemas de valor inicial dados a seguir:
Passo 1
O problema é um sistema linear não homogêneo de coeficientes constantes
com condição inicial
X(0)=(1,1)^T .
Conteúdo: resolução de sistemas via solução geral da parte homogênea (autovalores e autovetores) e método dos coeficientes a determinar para a parte particular, cuidando da ressonância quando as exponenciais forçantes coincidem com autovalores.
Conteúdo: resolução de sistemas via solução geral da parte homogênea (autovalores e autovetores) e método dos coeficientes a determinar para a parte particular, cuidando da ressonância quando as exponenciais forçantes coincidem com autovalores.
Passo 2
Calculamos a solução homogênea
Xh . Os autovalores de
A vêm de
Autovetor associado a
Autovetor associado a
lambda2=2 :
Logo
Passo 3
Para a parte particular, as forçantes
e^2t e
e^4t coincidem com autovalores, logo usamos o ansatz
com
U,V,W,ZinR^2 vetores constantes a determinar.
Passo 4
Achamos
Xp1=(tU+V)e^2t .
Derivando e igualando aAXp1+l(4e^2t,0r)^T obtemos o sistema
Derivando e igualando a
Comparando coeficientes de
t e constantes:
De
(A-2I)U=0 segue
U=u(1,1)^T . Substituindo no segundo e exigindo compatibilidade, acha-se
u=2 , de onde
U=(2,2)^T . Depois
que tem solução genérica
V=(v1,v1-2)^T . Tomamos
v1=0 para simplificar, logo
Portanto
Passo 5
De modo análogo para
Xp2=(tW+Z)e^4t , igualamos a
AXp2+(0,4e^4t)^T e obtém-se
Da primeira equação
W=w(1,-1)^T . Compatibilidade na segunda dá
w=-2 , isto é
W=(-2,2)^T . Depois
com soluções
Z=(z1,2-z1)^T . Tomamos
z1=0 , logo
Assim
Passo 6
A solução geral é
Escrevendo componentes e impondo
X(0)=(1,1)^T encontra-se
C1=0 e
C2=1 . Após simplificar, as componentes ficam