Resolva os problemas de valor inicial dados a seguir:
X^prime=(cc3 & -1 -1 & 3) X+binom4 e^2 t4 e^4 t, X(0)=binom11

Passo 1

O problema é um sistema linear não homogêneo de coeficientes constantes
X' = A,X + f(t), A = 3 & -1 -1 & 3, f(t)=4e^2t 4e^4t,
com condição inicial X(0)=(1,1)^T.
Conteúdo: resolução de sistemas via solução geral da parte homogênea (autovalores e autovetores) e método dos coeficientes a determinar para a parte particular, cuidando da ressonância quando as exponenciais forçantes coincidem com autovalores.

Passo 2

Calculamos a solução homogênea Xh. Os autovalores de A vêm de
det(A-lambda I) =det3-lambda & -1 -1 & 3-lambda =(3-lambda)^2-1=0
Rightarrowlambda1=4,;lambda2=2.
Autovetor associado a lambda1=4:
(A-4I)v=0 ;Longrightarrow; v1=(1,-1)^T
Autovetor associado a lambda2=2:
(A-2I)v=0 ;Longrightarrow; v2=(1,1)^T
Logo
Xh(t) =C1e^4t1 -1 +C2e^2t1 1

Passo 3

Para a parte particular, as forçantes e^2t e e^4t coincidem com autovalores, logo usamos o ansatz
Xp(t) =underbrace(t,U+V)e^2tXp1 +underbrace(t,W+Z)e^4tXp2,
com U,V,W,ZinR^2 vetores constantes a determinar.

Passo 4

Achamos Xp1=(tU+V)e^2t.
Derivando e igualando a AXp1+l(4e^2t,0r)^T obtemos o sistema
2t,U+(U+2V) =t,A,U + A,V + 4 0
Comparando coeficientes de t e constantes:
(A-2I),U=0, U+2V=A,V+4 0
De (A-2I)U=0 segue U=u(1,1)^T. Substituindo no segundo e exigindo compatibilidade, acha-se u=2, de onde U=(2,2)^T. Depois
(2I-A),V =-U+4 0 =-2 -2,
que tem solução genérica V=(v1,v1-2)^T. Tomamos v1=0 para simplificar, logo
V=0 -2
Portanto
Xp1(t) =l(2t1 1 +0 -2r)e^2t

Passo 5

De modo análogo para Xp2=(tW+Z)e^4t, igualamos a
AXp2+(0,4e^4t)^T e obtém-se
(A-4I),W=0, W+4Z=A,Z+0 4
Da primeira equação W=w(1,-1)^T. Compatibilidade na segunda dá w=-2, isto é W=(-2,2)^T. Depois
(4I-A),Z =-W+0 4 =2 2,
com soluções Z=(z1,2-z1)^T. Tomamos z1=0, logo
Z=0 2
Assim
Xp2(t) =l(t-2 2 +0 2r)e^4t

Passo 6

A solução geral é
X(t) =Xh(t)+Xp1(t)+Xp2(t)
Escrevendo componentes e impondo X(0)=(1,1)^T encontra-se C1=0 e C2=1. Após simplificar, as componentes ficam
X1(t) =e^2t(1+2t)-2t,e^4t, X2(t) =e^2t(2t-1)+e^4t(2t+2)

Resposta

boxed X(t) = e^2t(1+2t)-2t,e^4t[6pt] e^2t(2t-1)+e^4t(2t+2) ]

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