Resolva os problemas não-homogêneos a seguir:
X^prime=(lll1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3) X+(ce^t e^2 t t e^3 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear não-homogêneo
com
Repare que as duas primeiras equações formam um subsistema acoplado e a terceira está desacoplada. Para resolver, vamos:
  1. Tratar separadamente a equação de por fator integrante.
  2. Diagonalizar (ou decoplar) o bloco por combinações lineares e .

Passo 2

Analisando a terceira linha do sistema, temos
x3' = 3,x3 + t,e^3t
Esta é uma equação de primeira ordem à forma x3' -3x3 = t,e^3t. O fator integrante é e^-3t, logo
ddtl(x3,e^-3tr) = t
Integrando,
x3,e^-3t = integral t,dt = t^22 + C3,
portanto
x3(t) = e^3tl(tfract^22 + C3r)

Passo 3

Agora as duas primeiras equações:
x1' = x1 + x2 + e^t, x2' = x1 + x2 + e^2t
Definimos
u = x1 + x2, v = x1 - x2
Somando as duas equações obtém-se
u' = x1' + x2' = 2u + e^t + e^2t,
e subtraindo dá
v' = x1' - x2' = e^t - e^2t

Passo 4

Para v temos
v' = e^t - e^2t Longrightarrow v(t) = integrall(e^t - e^2tr),dt = e^t - e^2t2 + C4

Passo 5

Para u resolvemos
u' - 2u = e^t + e^2t
O fator integrante é e^-2t, então
ddtl(u,e^-2tr) = l(e^t + e^2tr)e^-2t = e^-t + 1
Integrando,
u,e^-2t = integrall(e^-t + 1r),dt = -e^-t + t + C5,
logo
u(t) = e^2tl(-e^-t + t + C5r) = -e^t + t,e^2t + C5,e^2t

Passo 6

Voltando às variáveis originais,
x1 = u+v2, x2 = u-v2
Substituindo u(t) e v(t), obtemos
x1(t) = l(-e^t + t,e^2t + C5,e^2tr) +l(e^t - tfrace^2t2 + C4r)2,
x2(t) = l(-e^t + t,e^2t + C5,e^2tr) -l(e^t - tfrace^2t2 + C4r)2
Simplificando, podemos renomear constantes e escrever a solução geral.

Resposta

x1(t) = 12l(-e^t + t,e^2t -tfrace^2t2 + e^t r) + C6,e^2t = t,e^2t2 - e^2t4 + C6,e^2t,
x2(t) = 12l(-e^t + t,e^2t +tfrace^2t2 - e^tr) + C7,e^2t = t,e^2t2 + e^2t4 + C7,e^2t,
x3(t) = e^3tl(tfract^22 + C3r),
onde C3,C6,C7 são constantes arbitrárias.

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