Resolva os problemas não-homogêneos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear não-homogêneo
com
Repare que as duas primeiras equações formam um subsistema
acoplado e a terceira está desacoplada. Para resolver, vamos:
- Tratar separadamente a equação de
por fator integrante. - Diagonalizar (ou decoplar) o bloco
por combinações lineares e .
Passo 2
Analisando a terceira linha do sistema, temos
Esta é uma equação de primeira ordem à forma
x3' -3x3 = t,e^3t . O fator integrante é
e^-3t , logo
Integrando,
portanto
Passo 3
Agora as duas primeiras equações:
Definimos
Somando as duas equações obtém-se
e subtraindo dá
Passo 4
Para
v temos
Passo 5
Para
u resolvemos
O fator integrante é
e^-2t , então
Integrando,
logo
Passo 6
Voltando às variáveis originais,
Substituindo
u(t) e
v(t) , obtemos
Simplificando, podemos renomear constantes e escrever a solução geral.
Resposta
onde
C3,C6,C7 são constantes arbitrárias.