Determine a transformada de Laplace: mathscrLe^a t sen omega t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função e^a tsin(omega t).
Conteúdo: definição de transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no eixo s (shifting theorem).

Passo 2

Pela definição,
mathscrLe^a tsin(omega t) =integral0^inftye^-s t,e^a tsin(omega t),dt =integral0^inftye^-(s - a)tsin(omega t),dt
Aqui basta reconhecer que o fator e^a t desloca s para s-a.

Passo 3

Sabemos que, para Re(p)>0,
integral0^inftye^-p tsin(omega t),dt =omegap^2+omega^2
Comparando, temos p = s - a e a condição de convergência Re(s-a)>0, ou seja Re(s)>a.

Resposta

mathscrLe^a tsin(omega t) =omega(s - a)^2+omega^2, Re(s)>a

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