Sejam
com
ou
. Então (justifique como Exercício 2.14),
.
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Temos
. - Foi dada a condição “
ou ”, ou seja, pelo menos um entre e é não nulo.
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (de maneira bem concreta) o que é cada conjunto:
-
é o conjunto de todos os múltiplos inteiros de ; isto é,
- Analogamente,
- A soma
é o conjunto de todas as somas de um elemento de com um elemento de ; explicitamente,
(Viu? nada de mistério: são só combinações inteiras de
e
.)
Passo 3
Agora a observação simples e decisiva: escolha
e
na definição de
. Isso dá
Portanto
.
Analogamente, escolhendo
e
obtemos
ou seja,
.
Passo 4
Feita a observação anterior, concluímos o seguinte caso a caso:
- Se
então é um elemento de diferente de . Logo contém um elemento não nulo, portanto não é igual a . - Se
então, pela hipótese, ; mas então e , logo novamente .
Em palavras amigáveis: a soma de ideais
sempre contém os próprios
e
; se pelo menos um deles é não nulo, o conjunto contém um não nulo, então não pode ser apenas
.