Sejam a, b \in \mathbb{Z} com a \neq 0 ou b \neq 0. Então (justifique como Exercício 2.14), a \mathbb{Z}+b \mathbb{Z} \neq\{0\}.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Temos a,b\in\mathbb{Z}.
  • Foi dada a condição “ a\neq0 ou b\neq0”, ou seja, pelo menos um entre a e b é não nulo.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\neq\{0\}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (de maneira bem concreta) o que é cada conjunto:
  • a\mathbb{Z} é o conjunto de todos os múltiplos inteiros de a; isto é,
a\mathbb{Z}=\{a\cdot k \mid k\in\mathbb{Z}\}.
  • Analogamente,
b\mathbb{Z}=\{b\cdot \ell \mid \ell\in\mathbb{Z}\}.
  • A soma a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} é o conjunto de todas as somas de um elemento de a\mathbb{Z} com um elemento de b\mathbb{Z}; explicitamente,
a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\{a x + b y \mid x,y\in\mathbb{Z}\}.
(Viu? nada de mistério: são só combinações inteiras de a e b.)

Passo 3

Agora a observação simples e decisiva: escolha x=1 e y=0 na definição de a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}. Isso dá
a\cdot 1 + b\cdot 0 = a.
Portanto a\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
Analogamente, escolhendo x=0 e y=1 obtemos
a\cdot 0 + b\cdot 1 = b,
ou seja, b\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.

Passo 4

Feita a observação anterior, concluímos o seguinte caso a caso:
  • Se a\neq 0 então a é um elemento de a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} diferente de 0. Logo a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} contém um elemento não nulo, portanto não é igual a \{0\}.
  • Se a=0 então, pela hipótese, b\neq 0; mas então b\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} e b\neq0, logo novamente a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\neq\{0\}.
Em palavras amigáveis: a soma de ideais a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} sempre contém os próprios a e b; se pelo menos um deles é não nulo, o conjunto contém um não nulo, então não pode ser apenas \{0\}.

Resposta

a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\neq\{0\}

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