Exercício 2.16. Determine, usando o Critério da Comparação por Limite, se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 n+3 n^29 n^3+7

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty2n+3n^29n^3+7
usando o Critério da Comparação por Limite. Vamos comparar com a série harmônica sum 1/n, que sabemos que diverge.

Passo 2

Definimos
an = 2n + 3n^29n^3 + 7
e escolhemos
bn = 1n,
pois, para n grande, o termo dominante de an é tfrac3n^29n^3=tfrac13n, aproximando-se de uma constante vezes 1/n.

Passo 3

Calculamos o limite
L = limntoinftyanbn = limntoinfty2n + 3n^29n^3 + 71n = limntoinfty(2n + 3n^2),n9n^3 + 7 = limntoinfty2n^2 + 3n^39n^3 + 7 = 39 = 13

Passo 4

Como 0 < L < infty, o Critério da Comparação por Limite garante que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. Como sum bn = sum tfrac1n diverge, concluímos que
sumn=1^infty2n+3n^29n^3+7
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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