Seja
.
(a) Determine o domínio máximo de
.
(b) Mostre que
é injetora. Considerando a função bijetora
Dom
, determine a expressão de
.
(a) Determine o domínio máximo de
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) o domínio máximo de
; (b) mostrar que
é injetora e, considerando
bijetora de
em
, achar
. Vamos usar propriedades de logaritmo, domínio de funções e monotonicidade.
Passo 2
Para existir
é preciso que
ou seja
. Portanto
Passo 3
Para mostrar que
é injetora, basta ver que ela é estritamente crescente em
. Calculando a derivada:
e como
e
temos
em todo
. Logo
é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Passo 4
Sabemos que
é sobrejetiva e somar 4 desloca o gráfico sem alterar a amplitude. Logo
e
é bijetora.
Passo 5
Para achar
, seja
. Então
Portanto, para
,
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)