Seja f(x)=log 2(x-2)+4.
(a) Determine o domínio máximo de f.
(b) Mostre que f é injetora. Considerando a função bijetora f: Dom f Im f, determine a expressão de f^-1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=log2(x-2)+4
e pede: (a) o domínio máximo de f; (b) mostrar que f é injetora e, considerando f bijetora de Dom,f em Im,f, achar f^-1. Vamos usar propriedades de logaritmo, domínio de funções e monotonicidade.

Passo 2

Para existir log2(x-2) é preciso que
x-2>0,
ou seja x>2. Portanto
Dom,f=(2,infty)

Passo 3

Para mostrar que f é injetora, basta ver que ela é estritamente crescente em (2,infty). Calculando a derivada:
f'(x)=1(x-2)ln2,
e como (x-2)>0 e ln2>0 temos f'(x)>0 em todo (2,infty). Logo f é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 4

Sabemos que log2:(0,infty)toR é sobrejetiva e somar 4 desloca o gráfico sem alterar a amplitude. Logo
Im,f=R,
e f:(2,infty)toR é bijetora.

Passo 5

Para achar f^-1, seja y=f(x). Então
y=log2(x-2)+4
y-4=log2(x-2)
x-2=2^,y-4
x=2+2^,y-4
Portanto, para yinR,
f^-1(y)=2+2^,y-4

Resposta

(a) Dom,f=(2,infty).
(b) f^-1(x)=2+2^,x-4.

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