Use o Critério das Séries Alternadas para provar que as séries dadas abaixo são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge usando o Critério das Séries Alternadas (ou Critério de Leibniz). Para isso, vamos definir
e verificar que
-
para todo . -
é decrescente. -
.
Passo 2
Mostramos que
e que a sequência é decrescente. Para
temos
, logo
Para a monotonia, considere
para
. Calculando a derivada:
Como
, a função
é estritamente decrescente em
. Em particular,
forma uma sequência decrescente.
Passo 3
Calculamos o limite de
. Como
quando
, segue
Passo 4
O Critério das Séries Alternadas diz que, se
é uma sequência positiva, decrescente e com
, então a série
converge. Aqui todas as hipóteses estão satisfeitas para
.
Resposta
A série
converge pelo Critério das Séries Alternadas.