Use o Critério das Séries Alternadas para provar que as séries dadas abaixo são convergentes.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty(-1)^n-11ln(n+1)
converge usando o Critério das Séries Alternadas (ou Critério de Leibniz). Para isso, vamos definir
an = 1ln(n+1)
e verificar que
  1. an>0 para todo n>=1.
  2. an é decrescente.
  3. limntoinftyan=0.

Passo 2

Mostramos que an>0 e que a sequência é decrescente. Para n>=1 temos ln(n+1)>0, logo
an=1ln(n+1)>0
Para a monotonia, considere f(x)=1/ln(x+1) para x>=1. Calculando a derivada:
f'(x)=-1(x+1)l(ln(x+1)r)^2<0para x>=1
Como f'(x)<0, a função f é estritamente decrescente em [1,infty). Em particular, an=f(n) forma uma sequência decrescente.

Passo 3

Calculamos o limite de an. Como ln(n+1)toinfty quando ntoinfty, segue
limntoinftyan =limntoinfty1ln(n+1) =0

Passo 4

O Critério das Séries Alternadas diz que, se an é uma sequência positiva, decrescente e com limntoinftyan=0, então a série
sumn=1^infty(-1)^n-1an
converge. Aqui todas as hipóteses estão satisfeitas para an=1/ln(n+1).

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-11ln(n+1) converge pelo Critério das Séries Alternadas.

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