Exercício 16 (ELJ 92)
Mostre que M subset R^n+1 dado por M:=(x, a0, ldots, an-1) in R^n+1: x^n+an-1 x^n+ldots+a1 x+a0=0 é uma hiperfície.

Passo 1

O enunciado define
M=l(x,a0,dots,an-1)inR^n+1mid x^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0=0r
e pede para mostrar que M é uma hiperfície em R^n+1. O conteúdo usado será o Teorema da Função Implícita: se F:R^n+1toR é C^infty e 0 é valor regular de F, então F^-1(0) é subvariedade de codimensão 1, ou seja, uma hiperfície.

Passo 2

Definimos a aplicação suave
F:R^n+1toR, F(x,a0,dots,an-1) = x^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0
Note que M=F^-1(0).

Passo 3

Como F é dada por um polinômio em (x,a0,dots,an-1), ela é C^infty em todo R^n+1.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de F. Em particular,
partial Fpartial a0(x,a0,dots,an-1) =1
Portanto, em qualquer ponto de M temos nabla Fneq0, já que a componente partial F/partial a0 é sempre 1.

Passo 5

Como nabla F não se anula em M, o valor 0 é regular para F. Pelo Teorema da Função Implícita, M=F^-1(0) é uma subvariedade suave de R^n+1 de codimensão 1, ou seja, uma hiperfície.

Resposta

M é uma hiperfície em R^n+1.

Exercícios relacionados