Exercício 16 (ELJ 92)
Mostre que
dado por
é uma hiperfície.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é uma hiperfície em
. O conteúdo usado será o Teorema da Função Implícita: se
é
e
é valor regular de
, então
é subvariedade de codimensão 1, ou seja, uma hiperfície.
Passo 2
Definimos a aplicação suave
Note que
.
Passo 3
Como
é dada por um polinômio em
, ela é
em todo
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
. Em particular,
Portanto, em qualquer ponto de
temos
, já que a componente
é sempre
.
Passo 5
Como
não se anula em
, o valor
é regular para
. Pelo Teorema da Função Implícita,
é uma subvariedade suave de
de codimensão 1, ou seja, uma hiperfície.