integral (x^5+x^4-8) d xx^3-4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^5 + x^4 - 8x^3 - 4x,dx
Isso é uma integral de função racional. Para resolver, vamos usar dois ingredientes principais: divisão de polinômios (para obter quociente + resto) e decomposição em frações parciais (pois o resto ficará sobre um denominador fatorado).

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão de
x^5 + x^4 - 8
por
x^3 - 4x = x,(x^2-4)
1. x^5div x^3=x^2, multiplica e subtrai: resta x^4+4x^3-8.
2. x^4div x^3=x, multiplica e subtrai: resta 4x^3+4x^2-8.
3. 4x^3div x^3=4, multiplica e subtrai: resto final 4x^2+16x-8.
Logo
x^5 + x^4 - 8x^3-4x = x^2 + x + 4 ;+; 4x^2+16x-8x,(x^2-4)

Passo 3

Fatoramos o denominador do resto:
x,(x^2-4)=x,(x-2),(x+2)
Vamos escrever
4x^2+16x-8x,(x-2),(x+2) =Ax+Bx-2+Cx+2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por
Expandindo:
Comparando coeficientes com , obtemos o sistema
Da terceira equação vem .
Substituindo na primeira: .
Resolvendo e , .

Passo 5

Assim a integral fica
integral!l(x^2+x+4r)dx +integral!l(2x+5x-2-3x+2r)dx

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral x^2dx=x^33, integral x,dx=x^22, integral4,dx=4x,
integral 2xdx=2lnlvert xrvert, integral 5x-2dx=5lnlvert x-2rvert, integral -3x+2dx=-3lnlvert x+2rvert

Resposta

x^33+x^22+4x +2lnlvert xrvert +5lnlvert x-2rvert -3lnlvert x+2rvert +C

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