Exercício 2.5.16. Estender a base do espaço vetorial V cada um dos seguintes sistemas de vetores
, quando isso é possível:
;
Passo 1
O enunciado pede para, dado o conjunto
em
, encontrar dois vetores adicionais de modo que o sistema resultante seja uma base de
. O tema é extensão de um conjunto linearmente independente até uma base em espaço vetorial de dimensão finita.
Passo 2
Primeiro verificamos que
é linearmente independente porque
. Logo já temos um vetor não-nulo.
Passo 3
Agora escolhemos dois vetores que não pertençam ao subespaço gerado por
. Por exemplo, tomemos
Claramente nem
nem
são múltiplos de
.
Passo 4
Mostramos que
, onde
, é linearmente independente. Suponha
Isso dá o sistema
que implica
. Logo só há solução trivial, ou seja, são LI.
Passo 5
Para ver que eles geram
, seja
. Queremos
tais que
Das coordenadas obtemos
ou seja
sempre possível em
. Logo o sistema gera todo
.
Resposta
Uma base de
que estende
é