Exercício 2.5.16. Estender a base do espaço vetorial V cada um dos seguintes sistemas de vetores A, quando isso é possível:
A=(2,-1,0), V=R^3;

Passo 1

O enunciado pede para, dado o conjunto A=(2,-1,0) em V=R^3, encontrar dois vetores adicionais de modo que o sistema resultante seja uma base de R^3. O tema é extensão de um conjunto linearmente independente até uma base em espaço vetorial de dimensão finita.

Passo 2

Primeiro verificamos que A é linearmente independente porque (2,-1,0)neq(0,0,0). Logo já temos um vetor não-nulo.

Passo 3

Agora escolhemos dois vetores que não pertençam ao subespaço gerado por (2,-1,0). Por exemplo, tomemos
v2 = (0,1,0), v3 = (0,0,1)
Claramente nem v2 nem v3 são múltiplos de (2,-1,0).

Passo 4

Mostramos que v1,v2,v3, onde v1=(2,-1,0), é linearmente independente. Suponha
alpha,(2,-1,0)+beta,(0,1,0)+gamma,(0,0,1)=(0,0,0)
Isso dá o sistema
2alpha=0, -alpha+beta=0, gamma=0
que implica alpha=beta=gamma=0. Logo só há solução trivial, ou seja, são LI.

Passo 5

Para ver que eles geram R^3, seja (x,y,z)inR^3. Queremos alpha,beta,gamma tais que
alpha,(2,-1,0)+beta,(0,1,0)+gamma,(0,0,1)=(x,y,z)
Das coordenadas obtemos
2alpha = x, -alpha+beta=y, gamma=z,
ou seja
alpha=x2, beta=y+x2, gamma=z,
sempre possível em R. Logo o sistema gera todo R^3.

Resposta

Uma base de R^3 que estende A é
(2,-1,0),,(0,1,0),,(0,0,1)

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