Exercício 2.5.16. Estender a base do espaço vetorial V cada um dos seguintes sistemas de vetores A, quando isso é possível:
A=(2,-1,0),(1,0,1), V=R^3;

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = R^3 e o sistema de vetores
A = v1, v2, v1 = (2,-1,0), v2 = (1,0,1)
Pede-se estender A a uma base de V. O conteúdo envolvido é independência linear, dimensão de subespaço e extensão de conjunto livre até formar uma base de dimensão 3.

Passo 2

Verificamos se v1 e v2 são linearmente independentes, isto é, se a única solução de
c1,v1 + c2,v2 = (0,0,0)
é c1 = c2 = 0. Em coordenadas:
c1,(2,-1,0) + c2,(1,0,1) = (2c1 + c2,;-c1,;c2) = (0,0,0)
Das componentes seguem
2c1 + c2 = 0, -c1 = 0, c2 = 0
Da segunda equação vem c1 = 0, e então c2 = 0. Logo, v1 e v2 são independentes.

Passo 3

Como dim!l(spanv1,v2r)=2 e dim(V)=3, precisamos de mais um vetor v3notinspanv1,v2 para completar a base.

Passo 4

Escolhemos, por exemplo,
v3 = (0,1,0)
Para ver que v3 não está em spanv1,v2 basta verificar que não existem a,b tais que
a,(2,-1,0) + b,(1,0,1) = (0,1,0)
Das componentes teríamos
2a + b = 0, -,a = 1, b = 0,
o que leva a contradição -a=1Rightarrow a=-1, mas então 2(-1)+0=-2neq0. Logo v3 é independente de v1,v2.

Resposta

Uma extensão de A a uma base de R^3 é
(2,-1,0),,(1,0,1),,(0,1,0)

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