Exercício 2.5.16. Estender a base do espaço vetorial V cada um dos seguintes sistemas de vetores
, quando isso é possível:
;
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o sistema de vetores
Pede-se estender
a uma base de
. O conteúdo envolvido é independência linear, dimensão de subespaço e extensão de conjunto livre até formar uma base de dimensão 3.
Passo 2
Verificamos se
e
são linearmente independentes, isto é, se a única solução de
é
. Em coordenadas:
Das componentes seguem
Da segunda equação vem
, e então
. Logo,
e
são independentes.
Passo 3
Como
e
, precisamos de mais um vetor
para completar a base.
Passo 4
Escolhemos, por exemplo,
Para ver que
não está em
basta verificar que não existem
tais que
Das componentes teríamos
o que leva a contradição
, mas então
. Logo
é independente de
.
Resposta
Uma extensão de
a uma base de
é