Exercício 2.5.16. Estender a base do espaço vetorial V cada um dos seguintes sistemas de vetores A, quando isso é possível:
A=(2,-1,0),(1,0,1),(0,0,1), V=R^3.

Passo 1

O enunciado pede para “estender” o sistema
A = (2,-1,0),,(1,0,1),,(0,0,1)
a uma base de V=R^3. Para isso, lembramos que uma extensão só faz sentido se os vetores forem linearmente independentes e houver “espaço” para adicionar vetores (isto é, se lvert Arvert<dim V). Se lvert Arvert=dim V e os vetores forem independentes, eles já formam base e não há nada a acrescentar.

Passo 2

Verificamos a independência de v1=(2,-1,0), v2=(1,0,1), v3=(0,0,1) computando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
M = 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 1 & 1

Passo 3

Calculamos
det(M) =2cdot(0cdot1-0cdot1);-;1cdot(-1cdot1-0cdot0) ;+;0cdotl(dotsr) =0 -1cdot(-1) + 0 = 1 neq 0
Como det(M)neq0, v1,v2,v3 é linearmente independente. Além disso lvert Arvert=3=dimR^3, ou seja, já temos exatamente três vetores independentes.

Resposta

O conjunto A já é uma base de R^3, portanto não é possível (nem necessário) estendê-lo.

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