Exercício 16. (G. ex. 3.8) Seja Omega subset R^n um aberto.
a) Seja phi in Cc^infty(R^n). Mostre que se de<a(phi)=0, então phi de<a=0.
b) Seja u in D^prime(R^n) e phi in Cc^infty(R^n). Verifique se as implicações abaixo valem para todos u e phi :
i) u(phi)=0 Longrightarrow phi u=0.
ii) phi u=0 Longrightarrow u(phi)=0.

Passo 1

O enunciado trabalha com distribuições em R^n. Em (a) temos a delta de Dirac de<a em 0 e uma função teste phiin Cc^infty(R^n). Queremos usar a definição de produto de distribuição por função suave
(phi,de<a)(psi);=;de<a(phi,psi)
para mostrar que, se de<a(phi)=0, então phi,de<a é a distribuição zero.
Em (b) uinD'(R^n) é distribuição qualquer e phiin Cc^infty(R^n). Definimos
(phi,u)(psi)=u(phi,psi)
e veremos se (i) u(phi)=0 implica phi,u=0 e (ii) phi,u=0 implica u(phi)=0.

Passo 2

Parte (a). Sabemos que
de<a(phi)=phi(0)
Se de<a(phi)=0, então phi(0)=0. Para todo teste psi
(phi,de<a)(psi);=;de<a(phi,psi);=;(phi,psi)(0);=;phi(0),psi(0);=;0cdotpsi(0)=0
Como isso vale para todo psi, concluímos phi,de<a=0.

Passo 3

Parte (b). De um modo geral, para uinD' e phiin Cc^infty definimos
(phi,u)(psi)=u(phi,psi)
Queremos verificar:
i) se u(phi)=0 então phi,u=0?
ii) se phi,u=0 então u(phi)=0?

Passo 4

Contra-exemplo para (i). Seja u=de<a' a derivada de Dirac em 0. Então
de<a'(phi)=-phi'(0)
Escolha phiin Cc^infty tal que phi(0)=1 e phi'(0)=0. Então
u(phi)=de<a'(phi)=-phi'(0)=0,
porém, para teste psi,
(phi,u)(psi) =;u(phi,psi) =;de<a'l(phi,psir) =-ddxl[(phi,psi)(x)r]x=0 =-l(phi'(0),psi(0)+phi(0),psi'(0)r) =-psi'(0),
ou seja phi,u=de<a'neq 0. Logo (i) é falsa.

Passo 5

Demonstração de (ii). Se , então para todo vale
Escolha que valha identicamente numa vizinhança de . Então e obtemos
Assim (ii) é verdadeira.

Resposta

(a) Se de<a(phi)=0 então phi(0)=0 e portanto phi,de<a=0.
(b.i) Falsa.
(b.ii) Verdadeira.

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