Exercício 16. (G. ex. 3.8) Seja
um aberto.
a) Seja
. Mostre que se
, então
.
b) Seja
e
. Verifique se as implicações abaixo valem para todos
e
:
i)
.
ii)
.
a) Seja
b) Seja
i)
ii)
Passo 1
O enunciado trabalha com distribuições em
. Em (a) temos a delta de Dirac
em
e uma função teste
. Queremos usar a definição de produto de distribuição por função suave
para mostrar que, se
, então
é a distribuição zero.
Em (b) é distribuição qualquer e
. Definimos
Em (b)
e veremos se (i)
implica
e (ii)
implica
.
Passo 2
Parte (a). Sabemos que
Se
, então
. Para todo teste
Como isso vale para todo
, concluímos
.
Passo 3
Parte (b). De um modo geral, para
e
definimos
Queremos verificar:
i) se então
?
ii) se então
?
i) se
ii) se
Passo 4
Contra-exemplo para (i). Seja
a derivada de Dirac em
. Então
Escolha
tal que
e
. Então
porém, para teste
,
ou seja
. Logo (i) é falsa.
Passo 5
Demonstração de (ii). Se
, então para todo
vale
Escolha
que valha identicamente
numa vizinhança de . Então
e obtemos
Assim (ii) é verdadeira.
Resposta
(a) Se
então
e portanto
.
(b.i) Falsa.
(b.ii) Verdadeira.
(b.i) Falsa.
(b.ii) Verdadeira.