Proposição A.3.3 Seja
e sejam
. Então são válidas:
Associatividade:
Associatividade:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a multiplicação em
é associativa, isto é, que para quaisquer
,
e
vale
Vamos usar a definição de produto de números complexos e as propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade em
.
Passo 2
Pela definição de produto em
,
Chamando
temos
Passo 3
Agora calculamos
. Usando de novo a definição,
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
De modo análogo, começamos por
e chamamos
Então
e
Substituindo
e
, resulta
Passo 5
Comparando as partes reais e imaginárias de
e de
, vemos que coincidem exatamente, pois as operações de soma e produto em
são associativas, comutativas e distributivas. Portanto as duas expressões são iguais.