Proposição A.3.3 Seja (C, odot) e sejam z1=a1+b1 i, z2=a2+b2 i, z3=a3+b3 i in C. Então são válidas:
Associatividade: (z1 odot z2) odot z3=z1 odot(z2 odot z3)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a multiplicação em C é associativa, isto é, que para quaisquer z1=a1+b1i, z2=a2+b2i e z3=a3+b3i vale
l(z1odot z2r)odot z3 = z1odotl(z2odot z3r)
Vamos usar a definição de produto de números complexos e as propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade em R.

Passo 2

Pela definição de produto em C,
z1odot z2 = (a1a2-b1b2) + i,(a1b2+a2b1)
Chamando
u = a1a2-b1b2, v = a1b2+a2b1,
temos
z1odot z2 = u + i,v

Passo 3

Agora calculamos l(z1odot z2r)odot z3. Usando de novo a definição,
(u+iv)odot(a3+b3i) = l(u,a3-v,b3r) + il(u,b3+v,a3r)
Substituindo u e v, obtemos
l(z1odot z2r)odot z3 = l((a1a2-b1b2)a3-(a1b2+a2b1)b3r) + i,l((a1a2-b1b2)b3+(a1b2+a2b1)a3r)

Passo 4

De modo análogo, começamos por
z2odot z3 = (a2a3-b2b3) + i,(a2b3+a3b2),
e chamamos
p = a2a3-b2b3, q = a2b3+a3b2
Então
z2odot z3 = p + i,q,
e
z1odot(p+iq) = l(a1p-b1qr) + il(a1q+b1pr)
Substituindo p e q, resulta
z1odotl(z2odot z3r) = l(a1(a2a3-b2b3)-b1(a2b3+a3b2)r) + i,l(a1(a2b3+a3b2)+b1(a2a3-b2b3)r)

Passo 5

Comparando as partes reais e imaginárias de l(z1odot z2r)odot z3 e de z1odotl(z2odot z3r), vemos que coincidem exatamente, pois as operações de soma e produto em R são associativas, comutativas e distributivas. Portanto as duas expressões são iguais.

Resposta

l(z1odot z2r)odot z3 = z1odotl(z2odot z3r)

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