Proposição A.3.3 Seja (C, odot) e sejam z1=a1+b1 i, z2=a2+b2 i, z3=a3+b3 i in C. Então são válidas:
Neutro: exists 1=1+0 i in C tal que 1 odot z1=z1 odot 1=z1

Passo 1

O enunciado quer mostrar que em (C,odot) existe um elemento neutro para a multiplicação, isto é, um 1inC tal que para todo z1=a1+b1i valha
1odot z1=z1 e z1odot1=z1
Vamos ver que 1=1+0i satisfaz isso, usando a definição de produto de complexos.

Passo 2

Lembremos a definição: se
z1=a1+b1i e z2=a2+b2i,
então
z1odot z2 =(a1a2-b1b2) + (a1b2+b1a2),i

Passo 3

Vamos calcular primeiro
1odot z1 =(1+0i)odot(a1+b1i)
Pela fórmula:
1odot z1 =(1cdot a1-0cdot b1) + (1cdot b1+0cdot a1),i =a1+b1i =z1

Passo 4

Agora verificamos o outro lado,
z1odot1 =(a1+b1i)odot(1+0i)
Pela mesma conta,
z1odot1 =(a1cdot1 - b1cdot0) + (a1cdot0 + b1cdot1),i =a1+b1i =z1

Resposta

Ficou demonstrado que 1=1+0i é o elemento neutro de (C,odot), pois
1odot z1=z1 e z1odot1=z1.

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