Exercício 16:
\int_{1}^{4} \int_{0}^{1}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\int_{1}^{4}\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx
Perceba que a integração interna em y vai de 0 a 1 e há o termo \frac{x}{y}, que faz a integral ser imprópria em y=0. Vamos então estudar essa integral interna como um limite.

Passo 2

Separemos a integral interna em duas partes:
\int_{0}^{1}\frac{x}{y}\,dy \;+\; \int_{0}^{1}\frac{y}{x}\,dy.
Isso é
x\int_{0}^{1}\frac{1}{y}\,dy \;+\; \frac{1}{x}\int_{0}^{1}y\,dy.

Passo 3

Calculemos cada termo:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{y}\,dy =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{y}\,dy =\lim_{\varepsilon\to0^+}[\ln y]_{\varepsilon}^{1} =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon) =+\infty. 2. \displaystyle \int_{0}^{1}y\,dy =\Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}. Logo a parte que diverge domina:
x\int_{0}^{1}\frac{1}{y}\,dy = x\cdot(+\infty) =+\infty.

Passo 4

Como a integral interna em y já diverge para +\infty, a integral iterada
\int_{1}^{4}\Bigl[\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Bigr)\,dy\Bigr]\,dx
não pode ser um número finito.

Resposta

A integral é divergente (não existe valor finito).

Exercícios relacionados